智力题

一个数学几何题,关于两个圆相交与直线的

 

当A1A2⊥B1B2时B1B2最长设弦A1B1、A1B2所在圆分别为⊙O1、⊙O2,取A1B1、A1B2的中点C、D,连结O1C、O2D则B1B2=A1B1+A1B2=2A1C+2A1D=2CD当A1A2与B1B2不垂直时,四边形O1O2DC是直角梯形,定有O1O2>CD此时B1B2=2CD<2O1O2当A1A2⊥B1B2时,四边形O1O2DC是直角梯形,定有O1O2=CD此时B1B2=2CD=2O1O2为最大

 

 

Smith夫妇召开宴会,并邀请其他4对夫妇参加宴会。在宴会上,他们彼此握手,并且满足没有一个人同自己握手,没有两个人握手一次以上,并且夫妻之间不握手。然后Mr. Smith问其它客人握手的次数,每个人的答案是不一样的。求Mrs Smith握手的次数

 

1. 总共10个人,每个人不与自己握手,不与配偶握手,不与同一个人握超过一次手,所以每个人最多握8次手,最少0次; 2. Mr.Smith问其它9个人握了几次手,各人回答不一样,所以每个人的握手次数刚好为0-8次,每种不同次数有1个人; 3. 有且只有一个人握了8次手,称之为A,即A与其配偶以外的所有人都握了手; 4. 记A的配偶为a,除了A夫妇以外,所有人都至少握了1次手(和A),所以握手0次的肯定是a; 5. 从10个人中去掉A夫妇,因为A与其余每个人握了1次手,而a没有与别人握手,所以去掉A夫妇后,其它人的握手次数为1-7(不算Mr.Smith),再去掉他 们各自与A握的那次手不算,则各人的握手次数为0-6,还是每种不同次数刚好有1个人; 6. 重复第3-5步4次,直到去掉4对夫妇,最终剩下Mr.&Mrs.Smith,这时Mrs.Smith的握手次数为0,加上4次循环中去掉的4次握手,她总共握 了4次手,与每对夫妇中的某一位各握了一次。(累啊)

 

 

有6种不同颜色的球,分别记为1,2,3,4,5,6,每种球有无数个。现在取5个球,求在以下的条件下:
1、5种不同颜色的球;
2、4种不同颜色的球;
3、3种不同颜色的球;  
4、2种不同颜色的球;
问题:

1、5次分别是5种不同颜色的概率,
2、取5次 4种不同颜色的概率,
3、取5次 3种不同颜色的概率,   
4、取5次2种不同颜色的概率,
解答:
既然每种颜色的球都是无数的话,就相当于有6个不同颜色的球,拿了之后再放回去,一个道理啦!
针对所有可能是6的5次幂为7776;
1.5种颜色:先选5个颜色,那就是C(6,5),那么考虑到任意选择顺序,p(5,5) = 5!,结果是C(6,5) * P(5,5) = 720;
2.4种颜色:先选4个颜色,那就是C(6,4),那么肯定会有重复颜色,挑出重复颜色是C(4,1).考虑到任意拿球顺序是P(5,5),去掉重复的是2!.结果是 C(6,4)*C(4,1)*5!/2!.
3.3种颜色:先选3个颜色,那就是C(6,3),那么重复颜色是两种可能,比如abccc和abbcc,前者是C(3,1)*5!/3!,后者是C(3,2)*5!/2!/2!,结果是 C(6,3)*(C(3,1)*5!/3!+C(3,2)*5!/2!/2!).  
4.同理,一种是abbbb,一种是aabbb.前者是C(2,1) * 5!,后者是C(2,1)*5!/2!/3!.结果是C(6,2)*(C(2,1)*5!/4!+C(2,1)*5!/2!/3!).
5.就一种颜色,那就是6种啦啦啦。
加起来 720+3600+3000+450+6=7776 恰好所有的情况都包含在内

 

 

有一次数学比赛,共有A,B和C三道题目。所有人都至少解答出一道题目,总共有25人。
在没有答出A的人中,答出B的人数是答出C的人数的两倍;单单答出A的人,比其他答出A的人
总数多1;在所有只有答出一道题目的人当中,答出B和C的人数刚好是一半。
求只答出B的人数。

 

解:设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C,并用三个圆表示之,则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合,其人数分别以a,b,c,d,e,f,g表示.
由于每个学生至少解出一题,故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出甲题的学生中,解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍,
故b+f=2(c+f)②
由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1,故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中,有一半没有解出甲题,故a=b+c④
由②得:b=2c+f,f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得:2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得:4b+c=26⑨
∵c≥0,∴4b≤26,b≤61 2 .
利用⑤⑨消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52
∵f≥0,∴9b≥52,b≥52 9 .
∵b∈Z,
∴b=6.即只解出乙题的学生有6人.

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