智力题

一个数学几何题，关于两个圆相交与直线的

 

当A1A2⊥B1B2时B1B2最长设弦A1B1、A1B2所在圆分别为⊙O1、⊙O2，取A1B1、A1B2的中点C、D，连结O1C、O2D则B1B2＝A1B1＋A1B2＝2A1C＋2A1D＝2CD当A1A2与B1B2不垂直时，四边形O1O2DC是直角梯形，定有O1O2＞CD此时B1B2＝2CD＜2O1O2当A1A2⊥B1B2时，四边形O1O2DC是直角梯形，定有O1O2＝CD此时B1B2＝2CD＝2O1O2为最大

 

 

Smith夫妇召开宴会，并邀请其他4对夫妇参加宴会。在宴会上，他们彼此握手，并且满足没有一个人同自己握手，没有两个人握手一次以上，并且夫妻之间不握手。然后Mr. Smith问其它客人握手的次数，每个人的答案是不一样的。求Mrs Smith握手的次数

 

1. 总共10个人，每个人不与自己握手，不与配偶握手，不与同一个人握超过一次手，所以每个人最多握8次手，最少0次； 2. Mr.Smith问其它9个人握了几次手，各人回答不一样，所以每个人的握手次数刚好为0-8次，每种不同次数有1个人； 3. 有且只有一个人握了8次手，称之为A，即A与其配偶以外的所有人都握了手； 4. 记A的配偶为a，除了A夫妇以外，所有人都至少握了1次手(和A)，所以握手0次的肯定是a； 5. 从10个人中去掉A夫妇，因为A与其余每个人握了1次手，而a没有与别人握手，所以去掉A夫妇后，其它人的握手次数为1-7(不算Mr.Smith)，再去掉他 们各自与A握的那次手不算，则各人的握手次数为0-6，还是每种不同次数刚好有1个人； 6. 重复第3-5步4次，直到去掉4对夫妇，最终剩下Mr.&Mrs.Smith，这时Mrs.Smith的握手次数为0，加上4次循环中去掉的4次握手，她总共握 了4次手，与每对夫妇中的某一位各握了一次。（累啊）

 

 

有6种不同颜色的球，分别记为1,2,3,4,5,6，每种球有无数个。现在取5个球，求在以下的条件下：
1、5种不同颜色的球；
2、4种不同颜色的球；
3、3种不同颜色的球；  
4、2种不同颜色的球；
问题：

1、5次分别是5种不同颜色的概率，
2、取5次 4种不同颜色的概率，
3、取5次 3种不同颜色的概率，   
4、取5次2种不同颜色的概率，
解答：

既然每种颜色的球都是无数的话，就相当于有6个不同颜色的球，拿了之后再放回去，一个道理啦！

针对所有可能是6的5次幂为7776;
1.5种颜色:先选5个颜色,那就是C(6,5),那么考虑到任意选择顺序,p(5,5) = 5!,结果是C(6,5) * P(5,5) = 720;

2.4种颜色:先选4个颜色,那就是C(6,4),那么肯定会有重复颜色，挑出重复颜色是C(4,1).考虑到任意拿球顺序是P(5,5),去掉重复的是2!.结果是 C(6,4)*C(4,1)*5!/2!.

3.3种颜色:先选3个颜色，那就是C(6,3),那么重复颜色是两种可能，比如abccc和abbcc，前者是C(3,1)*5!/3!,后者是C(3,2)*5!/2!/2!,结果是 C(6,3)*(C(3,1)*5!/3!+C(3,2)*5!/2!/2!).  

4.同理,一种是abbbb,一种是aabbb.前者是C(2,1) * 5!,后者是C(2,1)*5!/2!/3!.结果是C(6,2)*(C(2,1)*5!/4!+C(2,1)*5!/2!/3!).

5.就一种颜色，那就是6种啦啦啦。

加起来 720+3600+3000+450+6=7776 恰好所有的情况都包含在内

 

 

有一次数学比赛，共有A，B和C三道题目。所有人都至少解答出一道题目，总共有25人。
在没有答出A的人中，答出B的人数是答出C的人数的两倍；单单答出A的人，比其他答出A的人
总数多1；在所有只有答出一道题目的人当中，答出B和C的人数刚好是一半。
求只答出B的人数。

 

解：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个学生至少解出一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，
故b+f=2（c+f）②
由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤61 2 ．
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52，b≥52 9 ．
∵b∈Z，
∴b=6．即只解出乙题的学生有6人．