并查集应用
这两天又重新看了一下有关并查集的题目，相关的可以参考大牛的博客
http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/531c07afdc7d6fc57cd92ab1.html
以下是自己的一点总结。
数据结构——并查集的应用
并查集是一种简单的数据结构，相对于其他数据结构来说，编程难度很小，也很灵活，适当的find函数与Union函数便可以解决很多问题。
int find(int x)
{
if(x==parent[x]) return x;
returnparent[x]=find(parent[x]);
}
void Union(int a,int b)
{
intpa=find(a);
intpb=find(b);
if(pa!=pb) parent[pa]=pb;
}
并查集的应用：
并和查有关的集合操作
并查集可以用于相关的集合操作，如判定一个无向图是否有环，输出一个无向图的连通分量个数，kruscal最小生成树的操作。一些基于集合，有添加其它性质的集合操作。
例题：
TOJ2469 Friends
题目描述：有n个人，m对朋友关系，朋友关系对称且可传递，求有几个朋友圈。
分析：事实上是求一个无向图的连通分量数，并查集轻松搞定。
TOJ3294 Building Blcok
题目描述：一开始有n个Block，分别放置在地面上，有P个操作，操作有两种类型：
M a b如果a，b没有在一个Block组里，把包含a Block的Block组放在包含b的Block组之上。
C a 输出有多少个Block被压在了a之下。
分析：定义parent同并查集的一般操作，cnt表示有多少块Block[x]被压在x之下，size[x]表示以x为根的Block组一共有多少个Block.
#include < cstring >
using namespace std;
#define MAX 30030
int par[MAX],cnt[MAX],size[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
par[i] = i;
cnt[i] = 0 ;
size[i] = 1 ;
}
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(par[x]);
cnt[x] += cnt[tmp];
return par[x];
}
void Union( int a, int b, int pa, int pb)
{
par[pa] = pb;
cnt[pa] += size[pb];
size[pb] += size[pa];
}
int main()
{
int n,a,b,pa,pb;
char move[ 10 ];
while (scanf( " %d " , & n) != EOF)
{
init(MAX);
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
scanf( " %s " ,move);
if (move[ 0 ] == ' M ' )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
pa = find(a);
pb = find(b);
if (pa != pb) Union(a,b,pa,pb);
}
else if (move[ 0 ] == ' C ' )
{
scanf( " %d " , & a);
find(a);
printf( " %d\n " ,cnt[a]);
}
}
}
return 0 ;
}
TOJ3732 Dragon Balls
题目描述：悟空在寻找龙珠，一共有n个龙珠，m条操作。操作有两种。
T a b 表示把a龙珠所在的城里的所有龙珠运到b所在的城里
Q a 表示对a的询问，要求输出x a所在的城， y a所在的城里一共有多少个龙珠， z a经过几次到达现在所在的城的。
分析：定义parent同并查集的一般操作，step表示经过几步到达现在所在的城，size表示该城里的龙珠数。
#include < cstring >
using namespace std;
#define MAX 10010
int par[MAX],step[MAX],size[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 1 ;i <= n;i ++ )
{
par[i] = i;
step[i] = 0 ;
size[i] = 1 ;
}
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(tmp);
step[x] += step[tmp];
return par[x];
}
void Union( int a, int b)
{
int pa = find(a);
int pb = find(b);
par[pa] = pb;
size[pb] += size[pa];
step[pa] ++ ;
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,t = 1 ;
scanf( " %d " , & T);
while (T -- )
{
printf( " Case %d:\n " ,t ++ );
scanf( " %d%d " , & n, & m);
init(n);
for ( int i = 0 ;i < m;i ++ )
{
char move;
getchar();
move = getchar();
if (move == ' T ' )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
Union(a,b);
}
else
{
scanf( " %d " , & a);
int pa = find(a);
printf( " %d %d %d\n " ,pa,size[pa],step[a]);
}
}
}
return 0 ;
}
种类相关并查集操作
题目中出现的元素分为一些种类，描述中会给出相关的描述信息，判断描述的正确性，即是否有悖于之前对这些元素种类的描述。一般可以增加一个kind属性来表示元素的种类。
例题：
POJ1182 食物链
题目大意：有A，B，C三种动物A吃B，B吃C，C吃A。有两种描述：
1 a b表示a与b是同类
2 a b 表示a吃b
判断有多少句假话（假话题目中有定义，主要是判断是否与之前的描述相悖）
分析：增加属性kind，kind[x]=0,表示与根同类，kind[x]=1,表示吃根，kind[x]=2表示被根吃。
#include < cstring >
using namespace std;
#define MAX 50050
int par[MAX],rel[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 1 ;i <= n;i ++ )
{
par[i] = i;
rel[i] = 0 ;
}
}
int find( int x)
{
if (par[x] == x) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(tmp);
rel[x] = (rel[tmp] + rel[x]) % 3 ;
return par[x];
}
void union_set( int x, int y, int px, int py, int d)
{
par[px] = py;
rel[px] = (rel[y] - rel[x] + 2 + d) % 3 ;
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,pa,pb,k,r;
scanf( " %d%d " , & n, & m);
{
init(n);
r = 0 ;
for ( int i = 0 ;i < m;i ++ )
{
scanf( " %d%d%d " , & k, & a, & b);
if (a > n || b > n) { r ++ ; continue ;}
if (k == 2 && a == b) { r ++ ; continue ;}
pa = find(a);
pb = find(b);
if (pa == pb)
{
if ((rel[b] + k + 2 ) % 3 != rel[a]) r ++ ;
}
else union_set(a,b,pa,pb,k);
}
printf( " %d\n " ,r);
}
}
TOJ1706 A Bug’s life
题目大意：给出n个点m条边（无向边），寻找是否有奇环。可用bfs或者dfs黑白染色，用并查集则是顶点种类为2.kind[x]=0表示与根同色，kind[x]=1表示与根异色。
#include < cstring >
using namespace std;
#define MAX 2050
int par[MAX],rel[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 1 ;i <= n;i ++ )
{
par[i] = i;
rel[i] = 0 ;
}
}
int find( int x)
{
if (par[x] == x) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(tmp);
rel[x] ^= rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set( int x, int y, int px, int py)
{
par[py] = px;
rel[py] = (rel[y] == rel[x]);
}
int main()
{
int T,n,m,a,b,pa,pb,r;
scanf( " %d " , & T);
for ( int t = 1 ;t <= T;t ++ )
{
scanf( " %d%d " , & n, & m);
init(n);
r = 0 ;
for ( int i = 0 ;i < m;i ++ )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
if ( ! r)
{
pa = find(a);
pb = find(b);
if (pa == pb) r = (rel[a] == rel[b]);
else union_set(a,b,pa,pb);
}
}
printf( " Scenario #%d:\n " ,t);
printf( " %s bugs found!\n\n " ,r ? " Suspicious " : " No suspicious " );
}
}
POJ1733 Parity Game
题目大意：有长度为n的0，1串，给出描述，a b even or a b odd表示a b区间1的个数的奇偶性，判断前多少条描述是成立的。
分析：设属性sum，区间a b的1的个数的奇偶性，与sum[b]和sum[a-1]的奇偶性相同，即若a b even表示sum[b]，sum[a-1]同奇偶，否则异奇偶。sum[x]=0,表示与根同奇偶，sum[x]=1表示与根异奇偶。由于该题区间范围过大，需要离散化。
#include < cstring >
#include < map >
#include < algorithm >
using namespace std;
#define MAX 5010
int par[ 2 * MAX],rel[ 2 * MAX],ind[ 2 * MAX];
struct node
{
int s,e;
bool Isodd;
}query[MAX];
map < int , int > M;
void init( int n)
{
M.clear();
for ( int i = 0 ;i <= n;i ++ )
{
par[i] = i;
rel[i] = 0 ;
}
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(tmp);
rel[x] ^= rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set( int a, int b, int pa, int pb, int d)
{
par[pb] = pa;
rel[pb] = rel[b] ^ rel[a] ^ d;
}
int main()
{
int n,m;
scanf( " %d%d " , & n, & m);
{
int a,b,pa,pb,i;
char str[ 10 ];
init( 2 * m);
for (i = 0 ;i < m;i ++ )
{
scanf( " %d%d%s " , & a, & b,str);
b ++ ;
query[i].s = a;
query[i].e = b;
query[i].Isodd = (str[ 0 ] == ' o ' );
ind[i << 1 ] = a;
ind[i << 1 | 1 ] = b;
}
sort(ind,ind + 2 * m);
for (i = 0 ;i < 2 * m;i ++ )
M[ind[i]] = i + 1 ;
for (i = 0 ;i < m;i ++ )
{
a = M[query[i].s];
b = M[query[i].e];
pa = find(a);
pb = find(b);
if (pa == pb)
{
if ((rel[a] ^ rel[b]) != query[i].Isodd) break ;
}
else union_set(a,b,pa,pb,query[i].Isodd);
}
printf( " %d\n " ,i);
}
return 0 ;
}
TOJ3413 How Many Answers Are Wrong
题目大意：上题的强化版给出任意的n个数，和m条描述，描述为 a b c即a到b的和c，判断有多少条描述是错误的。
分析：设属性sum，a b c表示sum[b]-sum[a-1]=c,sum[x]表示x与x所在集合的根的差。
#include < cstring >
using namespace std;
#define MAX 200010
int par[MAX],rel[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 0 ;i <= n;i ++ )
{
par[i] = i;
rel[i] = 0 ;
}
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
int tmp = par[x];
par[x] = find(tmp);
rel[x] += rel[tmp];
return par[x];
}
void union_set( int a, int b, int pa, int pb, int d)
{
par[pb] = pa;
rel[pb] = rel[a] - rel[b] + d;
}
int main()
{
int n,m;
while (scanf( " %d%d " , & n, & m) != EOF)
{
int a,b,pa,pb,d,r = 0 ;
init(n);
for ( int i = 0 ;i < m;i ++ )
{
scanf( " %d%d%d " , & a, & b, & d);
a -- ;
pa = find(a);
pb = find(b);
if (pa == pb)
{
if (rel[b] - rel[a] != d) r ++ ;
}
else union_set(a,b,pa,pb,d);
}
printf( " %d\n " ,r);
}
return 0 ;
}
注：上述所述的属性，都是其与根的关系，在每次合并之后，只需要先修改一下集合根的属性值，该集合中其它元素的属性值可以在find函数中修改。
用于优化
并查集更多地应用于dp或者贪心中的优化，用来降低复杂度。
例题：
TOJ1681 Supermarket
题目大意：有n件物品，每件物品有两个属性，p和d，表示在第d天之前将该物品卖出可以获得p的收益，假设一天至多能卖一件货物。问最多能获得的收益值。
分析：思想贪心。对货物按收益值进行排序，优先安排出售获益大的商品，对于每件商品可以把它安排在可以安排的最晚的那一天，即d之前的最晚的一天。如果直接暴力，则对于每件货物都需要从d天到第一天进行搜索，找出没有被安排的一天。时间复杂度O(nK),K是d的复杂度。考虑使用并查集优化，定义parent表示在d之前的可用时间（即题目中需要搜索出的时间）。对于每件货物设b=find(d),若b>0则该物品可安排，进行Union（b，b-1）的合并（b应该合并到b-1上），否则该货物无法安排
#include < cstring >
#include < vector >
#include < algorithm >
using namespace std;
#define MAX 10010
#define MP make_pair
int par[MAX];
void init( int n)
{
for ( int i = 0 ;i <= n;i ++ )
par[i] = i;
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
return par[x] = find(par[x]);
}
void union_set( int a, int b){ par[a] = b;}
vector < pair < int , int > > task;
int main()
{
int n,a,b,mx;
while (scanf( " %d " , & n) != EOF)
{
task.clear();
mx = 0 ;
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
task.push_back(MP(a,b));
if (b > mx) mx = b;
}
sort(task.begin(),task.end());
init(mx);
int ans = 0 ;
for ( int i = n - 1 ;i >= 0 ;i -- )
{
b = find(task[i].second);
if (b > 0 )
{
ans += task[i].first;
union_set(b,b - 1 );
}
}
printf( " %d\n " ,ans);
}
return 0 ;
}
反向进行并查集操作
与并查集不同，给出一个图中原有的一些边，然后给出操作，操作不是向图中添加边，而是在已有的边上，将边删除。对于该种情况，需要把首先读入所有操作，把要求删除的边全部删除，再按照从后往前的顺序处理操作，这样删边操作又重新转化为了添边的操作。
例题：
ZOJ3261 Connections in Galaxy War
题目大意：有n个卫星，每个卫星有一个power值，初始时这些卫星之间有若干条边，有两种操作一种是删边，另一种是查询，查询卫星a，即要求找出与卫星a直接或间接相连的卫星中power值大于该卫星的拥有最大power值的卫星，若两卫星power值相同且最大输出编号小的那个。
分析：按上述方法，先删边，再反向处理操作，注意该题优先级的描述，再Union中要分类处理。
#include < cstring >
#include < iostream >
#include < set >
using namespace std;
#define MAXN 10010
#define MAXM 50010
int query[MAXM][ 2 ];
int par[MAXN],power[MAXN];
int ans[MAXM];
set < int > g[MAXN];
void init( int n)
{
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
par[i] = i;
g[i].clear();
scanf( " %d " , & power[i]);
}
}
int find( int x)
{
if (x == par[x]) return x;
return par[x] = find(par[x]);
}
void Union( int a, int b)
{
int pa = find(a);
int pb = find(b);
if (power[pa] < power[pb]) par[pa] = pb;
else if (power[pa] > power[pb]) par[pb] = pa;
else
{
if (pa < pb) par[pb] = pa;
else par[pa] = pb;
}
}
int main()
{
int n,m,q,b = 0 ;
while (scanf( " %d " , & n) != EOF)
{
if (b) printf( " \n " );
b = 1 ;
init(n);
scanf( " %d " , & m);
int a,b;
char str[ 20 ];
for ( int i = 0 ;i < m;i ++ )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
if (a > b) swap(a,b);
g[a].insert(b);
}
scanf( " %d " , & q);
for ( int i = 0 ;i < q;i ++ )
{
scanf( " %s " ,str);
if (str[ 0 ] == ' d ' )
{
scanf( " %d%d " , & a, & b);
if (a > b) swap(a,b);
query[i][ 0 ] = a; query[i][ 1 ] = b;
g[a].erase(g[a].find(b));
}
else
{
scanf( " %d " , & a);
query[i][ 0 ] = a; query[i][ 1 ] =- 1 ;
}
}
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
for ( set < int > ::iterator it = g[i].begin();it != g[i].end();it ++ )
Union(i, * it);
}
int cnt = 0 ;
for ( int i = q - 1 ;i >= 0 ;i -- )
{
if (query[i][ 1 ] ==- 1 )
{
int tmp = find(query[i][ 0 ]);
if (power[tmp] == power[query[i][ 0 ]]) ans[cnt ++ ] =- 1 ;
else ans[cnt ++ ] = tmp;
}
else Union(query[i][ 0 ],query[i][ 1 ]);
}
for ( int i = cnt - 1 ;i >= 0 ;i -- )
printf( " %d\n " ,ans[i]);
}
}