向量的点乘与叉乘

向量 - 向量叉乘 向量点乘

2010年07月28日 星期三 14:33

向量（Vector） 在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。 向量加法 向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：     V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2) 下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。   点乘（Dot Product） 如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。 点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：     V1( x1, y1)   V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2 注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：     A   B = |A||B|Cos(θ) θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度， 在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：     Cos(θ) = A   B /(|A||B|) 当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值 另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了） 叉乘（cross product） 相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：     V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2 看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：     A x B = |A||B|Sin(θ) 然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。下图中 θ为负。 另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。 （译注：三维及以上的叉乘参看维基：http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product） 点-线距离 找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。     d = (AB x AC)/|AB| 如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。 当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积AB Bc来判定两线段间夹角。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。 源代码参考如下：      //Compute the dot product AB   BC      int dot(int[] A, int[] B, int[] C){          AB = new int[2];          BC = new int[2];          AB[0] = B[0]-A[0];          AB[1] = B[1]-A[1];          BC[0] = C[0]-B[0];          BC[1] = C[1]-B[1];          int dot = AB[0] * BC[0] + AB[1] * BC[1];          return dot;      }      //Compute the cross product AB x AC      int cross(int[] A, int[] B, int[] C){          AB = new int[2];          AC = new int[2];          AB[0] = B[0]-A[0];          AB[1] = B[1]-A[1];          AC[0] = C[0]-A[0];          AC[1] = C[1]-A[1];          int cross = AB[0] * AC[1] - AB[1] * AC[0];          return cross;      }      //Compute the distance from A to B      double distance(int[] A, int[] B){          int d1 = A[0] - B[0];          int d2 = A[1] - B[1];          return sqrt(d1*d1+d2*d2);      }      //Compute the distance from AB to C      //if isSegment is true, AB is a segment, not a line.      double linePointDist(int[] A, int[] B, int[] C, boolean isSegment){          double dist = cross(A,B,C) / distance(A,B);          if(isSegment){              int dot1 = dot(A,B,C);              if(dot1 > 0)return distance(B,C);              int dot2 = dot(B,A,C);              if(dot2 > 0)return distance(A,C);          }          return abs(dist);      } 上面的代码看起来似乎是很繁琐。不过我们可以看看在C++和C#中，采用了运算符重载的类point，用‘*’代表点乘，用'^'代表叉乘（当然'+''-'还是你所希望的），那么看起来就简单些，代码如下：    //Compute the distance from AB to C      //if isSegment is true, AB is a segment, not a line.      double linePointDist(point A, point B, point C, bool isSegment){          double dist = ((B-A)^(C-A)) / sqrt((B-A)*(B-A));          if(isSegment){              int dot1 = (C-B)*(B-A);              if(dot1 > 0)return sqrt((B-C)*(B-C));              int dot2 = (C-A)*(A-B);              if(dot2 > 0)return sqrt((A-C)*(A-C));          }          return abs(dist);      }