POJ3233 矩阵幂求和

给定三个参数n、k、m，n为矩阵的行数和列数，k表示最高次幂，m用于取模。

对于给定的矩阵A，要求输出A^1+A^2+……+A^k的结果矩阵。

求A^i可以使用二分快速幂，这个是足够快的了。

但k最大可以达到10^9，因此虽然题目只有一组数据，但直接一次循环也必然超时。

这里的求和可以采用二分的思想：

对于S=A^1+A^2+……+A^k

若k是偶数，则S=(1+1^(k/2))(A^1+A^2+……+A^(k/2))

若k是奇数，则S=(1+1^(k/2))(A^1+A^2+……+A^(k/2))+A^k

以上的k/2指的是程序中的除法，即舍弃小数的除法。

采用这种二分思想，可以大大减少时间复杂度，因此可以满足题目的要求。

应当注意的是这里要求的结果矩阵是每个元素模m之后的矩阵，可以在运算过程中可能超过m的时候判断一下，对m取模。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m;
struct Matrix
{
	int x[31][31];
};

void matrixPrint(Matrix mat)	//打印矩阵
{
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			if (j > 0) printf(" ");
			printf("%d", mat.x[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

Matrix matrixMultiply(Matrix a, Matrix b)	//矩阵相乘
{
	Matrix ret;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			ret.x[i][j] = 0;
			for (int t = 0; t < n; ++t)
			{
				ret.x[i][j] += a.x[i][t] * b.x[t][j];
				if (ret.x[i][j] >= m) ret.x[i][j] %= m;
			}
		}
	}
	return ret;
}

Matrix matrixPow(Matrix mat, int p)	//矩阵求幂
{
	Matrix ret;
	Matrix tmp = mat;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		ret.x[i][i] = 1;
		for (int j = i + 1; j < n; ++j)
		{
			ret.x[i][j] = 0;
			ret.x[j][i] = 0;
		}
	}
	while (p > 0)
	{
		if (p & 1) ret = matrixMultiply(ret, tmp);
		p >>= 1;
		tmp = matrixMultiply(tmp, tmp);
	}
	return ret;
}

Matrix matrixSummary(Matrix mat, int k)	//矩阵幂求和
{
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			if (mat.x[i][j] >= m) mat.x[i][j] %= m;
		}
	}

	if (k == 1) return mat;
	Matrix M1 = matrixPow(mat, k / 2);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		M1.x[i][i] += 1;
	}
	Matrix M2 = matrixSummary(mat, k / 2);
	Matrix ret = matrixMultiply(M1, M2);
	if (k & 1)
	{
		Matrix tmp = matrixPow(mat, k);
		for (int i = 0; i < n; ++i)
		{
			for (int j = 0; j < n; ++j)
			{
				ret.x[i][j] += tmp.x[i][j];
				if (ret.x[i][j] >= m) ret.x[i][j] %= m;
			}
		}
	}
	return ret;
}

int main()
{
	Matrix mat;
	int k;
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			scanf("%d", &mat.x[i][j]);
		}
	}
	Matrix ret = matrixSummary(mat, k);
	matrixPrint(ret);
	return 0;
}

有一种更牛B更高效的求法，完全不需要求和了。利用矩阵的性质，加上二分快速幂就可以得出结果了。

假设输入的矩阵为A，构造B矩阵，它的长和宽都是A矩阵的两倍。B矩阵左上角和右上角和A矩阵完全一样，左下角是0矩阵，右下角是单位矩阵。

则B^k的左上角就是所求的A^1+A^2+……+A^k。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m;
struct Matrix
{
	int x[61][61];
};

Matrix matrixMultiply(Matrix a, Matrix b)	//矩阵相乘
{
	Matrix ret;
	for (int i = 0; i < n * 2; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n * 2; ++j)
		{
			ret.x[i][j] = 0;
			for (int t = 0; t < n * 2; ++t)
			{
				ret.x[i][j] += a.x[i][t] * b.x[t][j];
				if (ret.x[i][j] >= m) ret.x[i][j] %= m;
			}
		}
	}
	return ret;
}

Matrix matrixPow(Matrix mat, int p)	//矩阵求幂
{
	Matrix ret;
	Matrix tmp = mat;
	for (int i = 0; i < n * 2; ++i)
	{
		ret.x[i][i] = 1;
		for (int j = i + 1; j < n * 2; ++j)
		{
			ret.x[i][j] = 0;
			ret.x[j][i] = 0;
		}
	}
	while (p > 0)
	{
		if (p & 1) ret = matrixMultiply(ret, tmp);
		p >>= 1;
		tmp = matrixMultiply(tmp, tmp);
	}
	return ret;
}

int main()
{
	Matrix mat;
	int k;
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			scanf("%d", &mat.x[i][j]);
			mat.x[i][j] %= m;
			mat.x[i][j + n] = mat.x[i][j];
			mat.x[i + n][j] = 0;
			mat.x[i + n][j + n] = (i == j) ? 1 : 0; 
		}
	}
	Matrix ret = matrixPow(mat, k);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			if (j > 0) printf(" ");
			printf("%d", ret.x[i][j + n]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}