The Sieve of Eratosthees ( 爱拉托逊斯筛选法数论筛法 )

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The Sieve of Eratosthees
爱拉托逊斯筛选法思想：对于不超过n的每个非负整数P，删除2*P, 3*P…，当处理

完所有数之后，还没有被删除的就是素数。

若用vis==1表示已被删除，则代码如下：
—————————————————–
代码一：

memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i = 2; i <= 100; i++)
for(int j = i*2; j <= 100; j += i)
vis[j] = 1;

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上面的代码效率已经很高了。
但还可以继续优化。
看一个改进的代码：
——————————————————
代码二：

int m = sqrt(double(n+0.5));
for(int i = 2; i <= m; i++)
if(!vis[i])
{
prime[c++] = i;
for(int j = i*i; j <= n; j += i)
{
vis[j] = 1;
}
}

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——————————————————
先分析代码一：
这个代码就是简单的将Eratosthenes筛选法描述出来。不用多说。
分析代码二：
考虑几点：
1.为何从i=2~m?
因为下面的j是从i*i开始的。
2.为何j从i*i开始？
因为首先在i=2时，偶数都已经被删除了。
其次，“对于不超过n的每个非负整数P”， P可以限定为素数，
为什么？
因为，在 i 执行到P时，P之前所有的数的倍数都已经被删除，若P

没有被删除，则P一定是素数。
而P的倍数中，只需看：
(p-4)*p, (p-2)*p, p*p, p*(p+2), p*(p+4)
（因为P为素数，所以为奇数，而偶数已被删除，不需要考虑p*(p

-1)等）
又因为(p-4)*p 已在 (p-4)的p倍中被删去，故只考虑：
p*p, p*(p+2)….即可
这也是i只需要从2到m的原因。
当然，上面 p*p, p*(p+2)…的前提是偶数都已经被删去，而代码

二若改成 j += 2*i ,则没有除去所有偶数，所以要想直接加2*i

。只需在代码二中memset()后面加：
for(int i = 4; i <= n; i++)
if(i % 2 == 0)
vis = 1;
这样，i只需从3开始，而j每次可以直接加 2*i.
——————————————————
这里用代码二给大家一个完整的代码：

//版本二
//Author: Tanky Woo
//BBS:www.cppleyuan.com
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
int vis[100];
int prime[100];
int c = 0;
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
int cnt = 1;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
int m = sqrt(double(n+0.5));
for(int i = 2; i <= m; i++)
if(!vis[i])
{
prime[c++] = i;
for(int j = i*i; j <= n; j += i)
{
vis[j] = 1;
//printf("%d\n", j);
}
}
for(int i = 2; i < n; i++)
{
if(vis[i] == 0)
{
printf("%d ", i);
cnt++;
if(cnt % 10 == 0)
printf("\n");
}
}
printf("\ncnt = %d\n", cnt);
return 0;
}

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完毕。

欢迎大家和我交流。

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