错排公式的容斥推导

问题提出：n封不同的信对应n个不同的信箱，问都装错信封的方法有多少种？

 

 

分析：我们都知道，错排公式的递推式为：，其中

 

而进一步可以得到：

 

那么它是如何推导出来的呢？下面就用容斥原理来进行分析：

 

 

首先，我们令S为自然数1，2，3，4，...n的全排列的全体，则

 

然后我们定义S性质上的集合，其中表示排列中i在其自然顺序的位置上，令为S中满足性质的全

 

排列的集合，所以对于来说，有，其中i是固定不动的，其他的数就是1，2，...i-1，i+1，...n的

 

全排列，所以有。

 

同样的道理有：，其中

 

一般情况就是：，其中下标两两不相同。

 

 

所以然后就是直接用容斥原理：

 

 

所以到了这里就推导完毕了。

 

 

 

应用一：确定{1,2,…,n}的恰有k个整数在它们的自然位置上的排列数。

 

这个问题的分析方法跟上面的一样，上面已经给出了一般情况的公式，所以很明显有n-k个数不再它原来的位置上。然后容斥就

可以了。

 

应用二：确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

 

分析：同样的道理，用总的数减去有偶数在它原来排列的位置上就行了，当然这就包括有一个偶数在原来排列位置上，有两

个，三个。。。等等，然后容斥就行了。