最小编辑距离

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一、问题描述

设A和B是两个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括：

  （1）删除一个字符；

  （2）插入一个字符；

  （3）将一个字符改为另一个字符；

  将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的两个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。

 

二、分析解答

设所给的两个字符串为A[1:m]和B[1:n]。定义D[i][j]=d(A[1:i],B[1,j])表示将A[1:i]转换为B[1:j]需要的代价。

单字符a,b间的距离定义为：

d(a,b)=0 (a=b)

d(a,b)=1(a!=b)

考察从字符串A[1:i]到字符串B[1:j]的变换。假设我们已经执行到最后一步，即A[i]<-->B[j]需要执行的操作。

可分成以下几种情况：
（1）字符A[i]改为字符B[j]；需要d(A[i],B[j])次操作,需要的代价是D[i-1,j-1]+d(A[i],B[j])。

（2）删除字符A[i]；B不需要动，需要1次操作。代价为：D[i-1,j]+1

（3）插入字符B[j],A不需要动；需要1次操作。代价：D[i,j-1]+1
因此，D[i][j]可递归地计算如下。

D[i][j]=min{D[i-1][j-1]+d(A[i],B[j]),D[i-1][j]+1,D[i][j-1]+1}。

 

三、算法描述

int dist(A[0…m-1],B[0…n-1])

{

int D[0…m,0…n]

int i,j,cost

对于i等于0至m

D[i, 0]=i

对于j等于0至n

D[0,j]=j

对于i等于1至m

    对于j等于1至n

       若 A[i-1]=B[j-1]则cost=0 否则 cost=1

        D[i][j]=min(D[i-1,j]+1,//删除

                    D[i,j-1]+1,//插入

                    D[i-1,j-1]+cost//替换

                     )

返回d[m,n]

}

 

四、代码实现

定义一个二维数组D[][]存储中间结果，如下图所示，为已经初始化后的情况。然后从D[1,1]开始从左到右，从上到下依次按填表，表的最后一个元素D[m,n]就是要求的最终结果。

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6

 

 

#include<iostream> #include<string> using namespace std; int D[100][100]; int dis[100]; int min(int a,int b,int c) {     return c<(a>b?b:a)?c:(a>b?b:a); } int dist(char * A,char * B) {     int m=strlen(A);     int n=strlen(B);     int i,j;     for(i=0;i<=m;++i)     {         D[i][0]=i;     }     for(j=0;j<=n;++j)     {         D[0][j]=j;     }     int cost;     for(i=1;i<=m;++i)     {         for(j=1;j<=n;++j)         {             if(A[i-1]==B[j-1])                 cost=0;             else                 cost=1;             D[i][j]=min(D[i-1][j-1]+cost,D[i-1][j]+1,D[i][j-1]+1);         }     }     return D[m][n]; } int dist2(char * A,char * B) {     int m=strlen(A);     int n=strlen(B);     int i,j;     for(i=0;i<=n;++i)         dis[i]=i;     int cost;     for(i=1;i<=m;++i)     {         int y=i-1;         for(j=1;j<=n;++j)         {             int x=y;             y=dis[j];             int z=j>1?dis[j-1]:i;             cost=A[i-1]==B[j-1]?0:1;             dis[j]=min(x+cost,y+1,z+1);         }     }     return dis[n]; } int main(int argc, char* argv[]) {         char * ch1="bcdefghijklmnopq";     char * ch2="abcdefghijklmnopadfsafwe";     cout<<dist(ch1,ch2)<<endl;     cout<<dist2(ch1,ch2)<<endl;     return 0; }

 

五、优化方法

从上面算法可以看出，该算法时间复杂性为0(m*n),空间复杂性为O（m*n）。同时可以看出，当对第i行进行填表时，只需要用到第i-1行的数据，因此可以用一个一维数组dis[0…n]代替二维数组D[0…m,0…n]，因此空间复杂性降为O(n)。实现代码如上面函数dist2()所示。