PKU2677,HDU2224 经典DP之双调旅行商（TSP）

PKU2677,HDU2224 经典DP之双调旅行商（TSP）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2224
      货郎问题(Traveling Salesman Problem，简称“TSP”)也叫货郎担问题，中国邮路问题，旅行商问题等,是计算机算法理论历史上的经典问题。在过去几十年中，它成为许多重要算法思想的测试平台，同时也促使一些新的理论领域的产生，比如多面体理论和复杂性理论。 货郎问题：给定n个结点和任意一对结点{i，j}之间的距离为dist(i，j)，要求找出一条闭合的回路，该回路经过每个结点一次且仅一次，并且该回路的费用最小，这里的费用是指每段路径的距离和。 货郎问题求解其精确解是NP难的，并且求解任意常数因子近以度的解也是NP难的。若将问题限定在欧氏平面上，就成为欧氏平面上的货郎问题,也叫欧几里德旅行商问题(Eculid Traveling Salesman Problem)。但是，即使是欧氏平面上的货郎问题也是NP难的。因此通常用来解决TSP问题的解法都是近似算法。其中第一个欧几里德旅行商问题的多项式近似算法是Arora在1996年使用随机平面分割和动态规划方法给出的。

    J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

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*        Bitonic path (详见《算法导论》 P217)                                                                                  
*        一个人从p1严格地增的走到pn，然后再严格递减的回到p1;求总路径的最小值；   
*        网上看到很多解题报告。。。看的我直冒汗     
*        只好自己看书，翻译。。。                                                                  
*        对于1 <= i <= j <= n, 我们定义P(i, j)是一条包含了P1, P2, P3 …… Pj的途径;                   
*        这条路径可以分成2部分：递减序列与递增序列                                                                
*        起点是Pi(1 <= i <= j)，拐点是P1，终点是Pj, P[i, j]为其最小值；                                     
*        状态转移方程为：                                                                                                                      
*        b[1,2] = |P1P2|,                                                                                                                               
*        i < j-1时， b[i,j] = b[i,j-1] + |Pj-1Pj|    点Pj-1在递增序列中，                                                
*        i = j-1时， b[i,j] = min{ b[k,j-1] + |PkPj|, 1<= k < j-1 }  点Pj-1在递减序列中                      
*        b[n,n] = b[n-1,n] + |Pn-1Pn|                                                                                                        
********************************************************************* */


#include  < stdio.h >
#include  < math.h >
#define  INF 0x7fffffff
#define  N 201
struct  point{
     double  x, y;
}point[N];
int  n;
double  dis[N][N];

double  distant( int  i,  int  j)
{
     return  sqrt((point[i].x  -  point[j].x) * (point[i].x  -  point[j].x)  + (point[i].y  -  point[j].y) * (point[i].y  -  point[j].y));
}

double  dp()
{
     int  i, j, k;
     double  temp, b[N][N];

    b[ 1 ][ 2 ]  =  dis[ 1 ][ 2 ];
     for  (j = 3 ; j <= n; j ++ )
    {
         for  (i = 1 ; i <= j - 2 ; i ++ )
            b[i][j]  =  b[i][j - 1 ]  +  dis[j - 1 ][j];

        b[j - 1 ][j]  =  INF;
         for  (k = 1 ; k <= j - 2 ; k ++ )
        {
            temp  =  b[k][j - 1 ]  +  dis[k][j];
             if  (temp  <  b[j - 1 ][j])
                b[j - 1 ][j]  =  temp;
        }
    }

    b[n][n]  =  b[n - 1 ][n]  +  dis[n - 1 ][n];

     return  b[n][n];
}

int  main()
{
     int  i, j;
     double  ans;
     while  (scanf( " %d " ,  & n)  >   0 )
    {
         for  (i = 1 ; i <= n; i ++ )
            scanf( " %lf %lf " ,  & point[i].x,  & point[i].y);

         for  (j = 2 ; j <= n; j ++ )
             for  (i = 1 ; i < j; i ++ )
                dis[i][j]  =  distant(i,j); 

        ans  =  dp();

        printf( " %.2lf\n " , dp());
    }
}