利用扩展欧几里得算法解整数方程

利用扩展欧几里得算法解整数方程

作算法题时，经常遇到的一个问题就是求AX+BY=C的问题。穷举法往往因为耗时太多而变得不可行，因此需要一些算法来进行优化。

比较常见的就是扩展的欧几里得算法，简单整理和总结如下

定理1：若gcd(A, B)大于1且不能整除C，则该方程不存在整数解。

证明：反证法，若存在整数X1，Y1，使得AX1+BY1=C，且C不能被gcd(A,B)（设为D）整除

C=AX1+BY1=(A/D)*D*X1+(B/D)*D*Y1=(A/D*X1+B/D*Y1)*D，显然与假设矛盾，因此得证。

根据定理1，当gcd(A,B)大于1，且可以整除C的时候，可以先将两边同除以gcd(A,B），得到A'X+B'Y=C'，该方程与原方程同解。因此，接下来我们仅讨论gcd(A,B)为1的情况。

对于这种情况，可以先求出AX+BY=1的解(X0,Y0)，接着就可以得知(C*X0,C*Y0)就是原方程的解了。

定理2：A，B的所有公约数D，均可以整除AX+BY

证明略，比较简单

推论2.1：A，B的最大公约数，是集合S{V| V>0, V=AX+BY}中最小的一个数

证明： 因为所有的公约数一定能整除最大公约数，所以gcd(A，B）一定属于集合S，另外，gcd(A,B)能整除S中的任意成员，因此gcd(A,B)只能是该集合中的最小数。

根据推论2.1，解方程AX+BY=1，和求解A，B的最大公约数有很大的关系

根据欧几里得定理，若a>b, 则gcd(a, b)=gcd(b, a%b)，因此作如下扩展

AX+BY=BX1+(A%B)Y1，展开左边的A，可以得到(A/B*B+A%B)X+BY=BX1+(A%B)Y1，

不妨取X=Y1，则可以得到Y=X1-(A/B)Y1，对应的代码

/* **扩展的欧几里德算法a*x + b*y = Gcd(a,b)的一组整数解，结果存在x,y中** */
void  extend_gcd( long   long  a,  long   long  b,  long   long &  x,  long   long   & y) {
         if (b  ==   0 ) {
                x  =   1 ;
                y  =   0 ;
                 return ;
        }
        extend_gcd(b, a  %  b, x, y);
         long   long  tmp  =  x;
        x  =  y;
        y  =  tmp  -  a  /  b  *  y;
}

当求得了AX+BY=C的一个解(X1,Y1)后，可以进一步得到其余的解的形式如下

X=X1+B*t

Y=Y1-A*t，其中t为整数

至此，方程AX+BY=C的整数解求出。

然而在应用上，往往并不是如此简单，很多时候会求解不定方程a * x + b * y = n。这个时候还是应用上面的算法：

1. 求gcd(a，b), 设c = gcd(a，b)，如果! c|n，则不存在整数解。因为将上式左右两边都除以c，可以知道，左边为整数，右边为非整数，故矛盾。
2. 将左右两边同时除以c,设得到新的方程为a' * x + b' * y = n'，应用上述算法求a' * x + b' * y = 1的解（此时gcd(a'，b') = 1）。设结果为x', y'。
3. x = x' * n' , y = y' * n'是方程a * x + b * y = n。这个比较好理解，将a' * x + b' * y = 1两边同时扩大n'倍就行了。
4. x = x' * n' + t * b, y = y' * n' - t * a（t为整数)是原方程a * x + b * y = n的所有解。