【奋战2013regional】Guass消元的一些应用（坑）

【奋战2013regional】Guass消元的一些应用（坑）

0。Guass消元的方法
Guass消元可以求矩阵的秩，行列式，逆元，解方程组等等。
矩阵的值可以是整数 or 浮点数。
对于解方程组来说，x1 + x2 + ... mod m = b 用主列消元法，需要求逆元。
如果是浮点数，可以用迭代法（spfa），在姜碧野的论文里有讲。


1。利用Guass消元解决计数问题

这一类我掌握的不好，一般来讲是求方程组的解的个数。
当然应该只对 x1 + x2 + ... + xn mod m = b 这样的整数方程组有效了。
srm 590 div1 500就是典型的例子，在n个数中挑选一些数，让其xor值小于等于limit。
这个问题和等于是等价的。至于等于怎么求，就是方程组的解数了。和自由元的个数相关。

srm 590div1 500pt
 1 #include<iostream>
 2 #include<vector>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 typedef vector<int> Vec;
 6 typedef vector<Vec> Mat;
 7 ll Guass(vector<ll>& number,ll limit)
 8 {
 9     int m = number.size();
10     Mat matrix(50,Vec(m+1));
11     for(int i = 0; i < 50; i++){
12         for(int j = 0; j < m; j++){
13             matrix[i][j] = !!(1LL << i & number[j]);
14         }
15         matrix[i][m] = !!(1LL << i & limit);
16     }
17 
18     int free = 0,line = 0;
19     for(int row = 0; row < m ; row++){
20         int p = -1;
21         for(int i = line; i < 50; i++) if(matrix[i][row]){
22             p = i;
23         }
24         if(-1 == p){
25             free ++;
26             continue;
27         }
28         swap(matrix[line],matrix[p]);
29         for(int i = line + 1; i < 50; i++) if(matrix[i][row]){
30             for(int p = 0; p <= m; p++)
31                 matrix[i][p] ^= matrix[line][p];
32         }
33         
34         line ++;
35     }
36     for(int i = line; i < 50; i++)
37         if(1 == matrix[i][m])
38             return 0;
39     cout<<"answer : "<< limit <<" "<<free<<endl;
40     return 1LL << free;
41 }
42 class XorCards{
43     public :ll numberOfWays(vector<ll> number,ll limit)
44     {
45         int n = number.size();
46         ll ans = Guass(number,limit);
47         for(int i = 0; i < 50; i++) if(1LL<<i & limit){
48             vector<ll> vct(n);
49             for(int j = 0; j < n; j++){
50                 vct[j] = number[j] >> i;
51             }
52             ans += Guass(vct,(limit>>i) - 1);
53         }
54         return ans;
55     }
56 };

2。开关问题

3。求期望