题目:压缩感知重构算法之稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)
鉴于前面所述大部分OMP及其前改算法都需要已知信号的稀疏度K,而在实际中这个一般是不知道的,基于此背景,稀疏度自适应匹配追踪(Sparsity Adaptive MP)被提出。
0、符号说明如下:
压缩观测y=Φx,其中y为观测所得向量M×1,x为原信号N×1(M<<N)。x一般不是稀疏的,但在某个变换域Ψ是稀疏的,即x=Ψθ,其中θ为K稀疏的,即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ,令A=ΦΨ,则y=Aθ。
(1) y为观测所得向量,大小为M×1
(2)x为原信号,大小为N×1
(3)θ为K稀疏的,是信号在x在某变换域的稀疏表示
(4) Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基,大小为M×N
(5) Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵,大小为N×N
(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子,大小为M×N
上式中,一般有K<<M<<N,后面三个矩阵各个文献的叫法不一,以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。
注意:这里的稀疏表示模型为x=Ψθ,所以传感矩阵A=ΦΨ;而有些文献中稀疏模型为θ=Ψx,而一般Ψ为Hermite矩阵(实矩阵时称为正交矩阵)所以Ψ-1=ΨH(实矩阵时为Ψ-1=ΨT),即x=ΨHθ,所以传感矩阵A=ΦΨH,例如沙威的OMP例程中就是如此。1、SAMP重构算法流程:
以上这个算法流程仅供参考,完全是为了与前面各算法流程形式上保持一致而写的,其实直接看文献[1]中的流程图更明了一些:
2、稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)Matlab代码(CS_SAMP.m)
代码参考了文献[2]中的SAMP.m,也可在www.pudn.com中搜索SAMP,可以搜到很多结果。也许这里程序主循环用while循环比较合适,不过这里保持和前面各算法的一致性,仍用for循环。
function [ theta ] = CS_SAMP( y,A,S ) %CS_SAMP Summary of this function goes here %Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-05-08 % Detailed explanation goes here % y = Phi * x % x = Psi * theta % y = Phi*Psi * theta % 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta % 现在已知y和A,求theta % Reference:Thong T.Do,Lu Gan,Nam Nguyen,Trac D.Tran.Sparsity adaptive % matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C].Asilomar % Conference on Signals,Systems,and Computers,Pacific Grove,California, % 2008,10:581-587. % Available at: % http://dsp.rice.edu/sites/dsp.rice.edu/files/cs/asilomar08_final.pdf [y_rows,y_columns] = size(y); if y_rows<y_columns y = y';%y should be a column vector end [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵 theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量) Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号 r_n = y;%初始化残差(residual)为y L = S;%初始化步长(Size of the finalist in the first stage) Stage = 1;%初始化Stage IterMax = M; for ii=1:IterMax%最多迭代M次 %(1)Preliminary Test product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积 [val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列 Sk = pos(1:L);%选出最大的L个 %(2)Make Candidate List Ck = union(Pos_theta,Sk); %(3)Final Test if length(Ck)<=M At = A(:,Ck);%将A的这几列组成矩阵At else theta_ls=0; break; end %y=At*theta,以下求theta的最小二乘解(Least Square) theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解 [val,pos]=sort(abs(theta_ls),'descend');%降序排列 F = Ck(pos(1:L)); %(4)Compute Residue %A(:,F)*theta_ls是y在A(:,F)列空间上的正交投影 theta_ls = (A(:,F)'*A(:,F))^(-1)*A(:,F)'*y; r_new = y - A(:,F)*theta_ls;%更新残差r if norm(r_new)<1e-6%halting condition true Pos_theta = F; %r_n = r_new;%更新r_n以便输出最新的r_n break;%quit the iteration elseif norm(r_new)>=norm(r_n)%stage switching Stage = Stage + 1;%Update the stage index L = Stage*S;%Update the size of finalist if ii == IterMax%最后一次循环 Pos_theta = F;%更新Pos_theta以与theta_ls匹配,防止报错 end %ii = ii - 1;%迭代次数不更新 else Pos_theta = F;%Update the finalist Fk r_n = r_new;%Update the residue end end theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta end
3、SAMP单次重构测试代码
以下测试代码基本与OMP单次重构测试代码一样。
%压缩感知重构算法测试 clear all;close all;clc; M = 128;%观测值个数 N = 256;%信号x的长度 K = 30;%信号x的稀疏度 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y %% 恢复重构信号x tic theta = CS_SAMP( y,A,5); x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta toc %% 绘图 figure; plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号 hold on; plot(x,'r');%绘出原信号x hold off; legend('Recovery','Original') fprintf('\n恢复残差:'); norm(x_r-x)%恢复残差
运行结果如下:(信号为随机生成,所以每次结果均不一样)
1)图:
2)Command windows
Elapsed time is 0.079620 seconds.
恢复残差:
ans=
1.3008e-014
4、稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码
以下测试代码为了与文献[1]的Fig.5(a)作比较。由于暂未研究学习LP算法,所以相比于文献[1]的Fig.5(a)缺少LP算法曲线。另外,本人的ROMP性能不如各文献中的ROMP,不知是不是算法理解有误。
clear all;close all;clc; %% 参数配置初始化 CNT = 1000;%对于每组(K,M,N),重复迭代次数 N = 256;%信号x的长度 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta M_set = [128];%测量值集合 KIND = ['OMP ';'ROMP ';'StOMP ';'SP ';'CoSaMP ';... 'SAMP,s=1 ';'SAMP,s=5 ';'SAMP,s=10']; Percentage = zeros(N,length(M_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率 %% 主循环,遍历每组(K,M,N) tic for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm);%本次测量值个数 K_set = 10:5:70;%信号x的稀疏度K没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了 %存储此测量值M下不同K的恢复成功概率 PercentageM = zeros(size(KIND,1),length(K_set)); for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K P = zeros(1,size(KIND,1)); fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K); for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的 Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y %(1)OMP theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(1) = P(1) + 1; end %(2)ROMP theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(2) = P(2) + 1; end %(3)StOMP theta = CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(3) = P(3) + 1; end %(4)SP theta = CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(4) = P(4) + 1; end %(5)CoSaMP theta = CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(5) = P(5) + 1; end %(6)SAMP,s=1 theta = CS_SAMP(y,A,1);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(6) = P(6) + 1; end %(7)SAMP,s=5 theta = CS_SAMP(y,A,5);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(7) = P(7) + 1; end %(8)SAMP,s=10 theta = CS_SAMP(y,A,10);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(8) = P(8) + 1; end end for iii = 1:size(KIND,1) PercentageM(iii,kk) = P(iii)/CNT*100;%计算恢复概率 end end for jjj = 1:size(KIND,1) Percentage(1:length(K_set),mm,jjj) = PercentageM(jjj,:); end end toc save KtoPercentage1000SAMP %运行一次不容易,把变量全部存储下来 %% 绘图 S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+']; figure; for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm); K_set = 10:5:70; L_Kset = length(K_set); for ii = 1:size(KIND,1) plot(K_set,Percentage(1:L_Kset,mm,ii),S(ii,:));%绘出x的恢复信号 hold on; end end hold off; xlim([10 70]); legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',... 'SAMP,s=1','SAMP,s=5','SAMP,s=10'); xlabel('Sparsity level K'); ylabel('The Probability of Exact Reconstruction'); title('Prob. of exact recovery vs. the signal sparsity K(M=128,N=256)(Gaussian)');
本程序在联想ThinkPadE430C笔记本(4GBDDR3内存,i5-3210)上运行共耗时1591.830781秒,程序中将所有数据均通过“save KtoPercentage1000SAMP”存储了下来,以后可以再对数据进行分析,只需“load KtoPercentage1000SAMP”即可。
本程序运行结果:
参考文献[1]中的Fig.4(a):
5、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码
以下测试代码为了与文献[1]的Fig.4(a)作比较。由于暂未研究学习LP算法,所以相比于文献[1]的Fig.4(a)缺少LP算法曲线。另外,本人的ROMP性能不如各文献中的ROMP,不知是不是算法理解有误。
clear all;close all;clc; %% 参数配置初始化 CNT = 1000;%对于每组(K,M,N),重复迭代次数 N = 256;%信号x的长度 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta K_set = [20];%信号x的稀疏度集合 KIND = ['OMP ';'ROMP ';'StOMP ';'SP ';'CoSaMP ';... 'SAMP,s=1 ';'SAMP,s=5 ';'SAMP,s=10']; Percentage = zeros(N,length(K_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率 %% 主循环,遍历每组(K,M,N) tic for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk);%本次稀疏度 M_set = 50:5:100;%M没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了 %存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率 PercentageK = zeros(size(KIND,1),length(M_set)); for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm);%本次观测值个数 P = zeros(1,size(KIND,1)); fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K); for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的 Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y %(1)OMP theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(1) = P(1) + 1; end %(2)ROMP theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(2) = P(2) + 1; end %(3)StOMP theta = CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(3) = P(3) + 1; end %(4)SP theta = CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(4) = P(4) + 1; end %(5)CoSaMP theta = CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(5) = P(5) + 1; end %(6)SAMP,s=1 theta = CS_SAMP(y,A,1);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(6) = P(6) + 1; end %(7)SAMP,s=5 theta = CS_SAMP(y,A,5);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(7) = P(7) + 1; end %(8)SAMP,s=10 theta = CS_SAMP(y,A,10);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P(8) = P(8) + 1; end end for iii = 1:size(KIND,1) PercentageK(iii,mm) = P(iii)/CNT*100;%计算恢复概率 end end for jjj = 1:size(KIND,1) Percentage(1:length(M_set),kk,jjj) = PercentageK(jjj,:); end end toc save MtoPercentage1000SAMP %运行一次不容易,把变量全部存储下来 %% 绘图 S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+']; figure; for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk); M_set = 50:5:100; L_Mset = length(M_set); for ii = 1:size(KIND,1) plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,ii),S(ii,:));%绘出x的恢复信号 hold on; end end hold off; xlim([50 100]); legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',... 'SAMP,s=1','SAMP,s=5','SAMP,s=10'); xlabel('No. of Measurements'); ylabel('The Probability of Exact Reconstruction'); title('Prob. of exact recovery vs. the number of measurements(K=20,N=256)(Gaussian)');
本程序在联想ThinkPadE430C笔记本(4GBDDR3内存,i5-3210)上运行共耗时373.898668秒,程序中将所有数据均通过“save SAMPMtoPercentage1000”存储了下来,以后可以再对数据进行分析,只需“load SAMPMtoPercentage1000”即可。
本程序运行结果:
参考文献[1]中的Fig.5(a):
6、结语
读几遍SAMP的被提出的参考文献[1]的题目:Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing,注意后面的“for practical compressed sensing”,这也就解释了很多网友的疑问,程序中的信号直接假设是稀疏的,但现实中的信号都不知道稀疏度是多少啊?前面大部分重构算法都要求输入稀疏度K,那怎么办呢?这时SAMP出场了,它是专为了“practical compressed sensing”而提出的,因为现实中的信号一般稀疏度未知或者说不是严格稀疏的,所要需要稀疏度自适应的算法,也就是SAMP了。
另外在测试时发现前面的CoSaMP有缺陷,因此对此进行了更新,在主循环中加入了:
if kk == 1 theta_ls = 0; end
以防止第1就跳出循环导致theta_ls未定义,其它地方未改。
参考文献:
[1]Thong T.Do,Lu Gan,NamNguyen,Trac D.Tran.Sparsityadaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C].AsilomarConference on Signals,Systems,andComputers,Pacific Grove,California,2008,10:581-587.
(Availableat: http://dsp.rice.edu/sites/dsp.rice.edu/files/cs/asilomar08_final.pdf)
[2]付自杰.cs_matlab. http://www.pudn.com/downloads641/sourcecode/math/detail2595379.html
[3]杨真真,杨震,孙林慧.信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理,2013,29(4):486-496.