SOJ4275 Question

乍一看很简单，求卡特兰数的模，但是(1 <= n <= 100000)，数据有点可怕。

（1）用卡特兰数的递推公式 h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1) ，但是除以(n+1)在模m的情况下无法计算（用逆元似乎也不能算出来），因此采用方法2.

（2）用卡特兰数的组合数公式 h(n)=C(2n,n)/(n+1) ，同样的问题，除以(n+1)不好算，所以只能直接对C(2n,n)的所有项分解质因数

当然不能直接裸暴力枚举所有项和他们的质因数，那样的话时间复杂度是O(n^2)肯定会超时，因此仅枚举所有质数，用count(n,prime[i])函数计算1-n共有多少个prime[i]，这样做，算法复杂度是O(klogn) + O(n)（预处理质数表），k是所有质因数的个数。

#include <cstdio>

int n,m,t;
long long ans;
int prime[100000],pp,cnt;

void init()
{
    prime[0]=2;
    pp=1;
    for (int i=3;i<=200000;i+=2)
    {
        bool f=1;
        for (int j=0;j<pp;j++)
            if (i%prime[j]==0) {f=0; break;}
        if (f) prime[pp++]=i;
    }
}

int count(int a,int b)
{
    int res=0;
    while (a>=b)
    {
        res+=a/b;
        a/=b;
    }
    return res;
}

long long pow_mod(long long x,int y)
{
    long long res=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) res=(res*x)%m;
        x=(x*x)%m;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    while (scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        ans=1;
        for (int i=0;i<pp;i++)
        {
            cnt=count(n+n,prime[i])-count(n,prime[i])-count(n+1,prime[i]);
            ans=(ans*pow_mod(prime[i],cnt))%m;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}