牛顿迭代法求非线性方程的一个实根

牛顿迭代法求非线性方程的一个实根

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  牛顿迭代法求方程的一个实根

  牛顿公式：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f '(x(k))

  迭代函数：Ф(x) = x - f(x) / f'(x)

  属性：方程求根迭代法
 
  此时的迭代函数必须保证X(k)有极限，即迭代收敛。

《数值计算方法与算法》-2 Editon -科学出版社 P93
《C#数值计算算法编程》-周长发 P210
   
 代码维护：2007.04.20   pengkuny
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#include < iostream >
#include < cmath >

using   namespace  std;

#define  f(x) (x*x*(x-1.0)-1.0)   // 举例函数x^3-x^2-1
#define  g(x) (3.0*x*x-2.0*x)   // 导函数3x^2-2x
#define  epsilon 0.0000001   // 精度
#define  MAXREAPT 100

bool  RootNewton( double   & x)
{
    double xk1,xk0;

    xk0 = x;
    for (int k=0; k<MAXREAPT; k++)
    {
        if (g(xk0) == 0.0)//牛顿迭代法缺陷在于:收敛是否与初值x0密切相关
        {//如果g(xk0)数值特别小时,有可能发生从一个根跳到另一个根附近的情况
            cout<<"迭代过程中导数为0."<<endl;
            return false;
        }

        xk1 = xk0 - f(xk0)/g(xk0);//key step

        if (fabs(xk1-xk0) < epsilon && fabs(f(xk1)) < epsilon)
        {//注意迭代结束条件是: |f(xk1)| < ε和|xk1-xk0| < ε同时成立,防止根跳跃
            x = xk1;
            return true;
        }
        else
        {
            xk0 = xk1;
        }
    }

    //迭代失败
    cout<<"迭代次数超过预期."<<endl;
    return false;
}

int  main()
{
    double x;
    cout<<"牛顿迭代法求方程根,请输入初始迭代x0值:"<<endl;
    cin>>x;

    if(RootNewton(x))
    {
        cout<<"该值附近的根为:"<<x<<endl;
    }
    else
    {
        cout<<"迭代失败!"<<endl;
    }

    system("pause");
    return 0;
}