系列文章－大数阶算之计算从入门到精通(序)

 
   

摘要：本系列文章将深入探讨大数阶乘之计算的各种算法和实现，从最简单的大家最容易想到的算法，到使用各种大数乘法的版本，包括硬乘法、分治法、快速数论变换(FNT)和快速傅立叶变换(FFT)的版本，甚至还有使用汇编语言写成的迷你版，使用斯特林公式的极速版。这些系列文章不仅分析和讲述算法思想，而且给出一些版本的部分或全部代码，并探讨代码的优化方法。除了重点讨论自己写的程序外，该系列文章还会对网上的一些计算大数阶乘的程序和论文以及一些学术刊物上的论文。

 

大数阶乘的计算是一个有趣的话题，从中学生到大学教授，许多人都投入到这个问题的探索和研究之中，并发表了他们自己的研究成果。如果你用阶乘作关键字在google上搜索，会找到许多此类文章，另外，如果你使用google学术搜索，也能找到一些计算大数阶乘的学术论文。但这些文章和论文的深度有限，并没有给出一个高速的算法和程序。

 

  我和许多对大数阶乘感兴趣的人一样，很早就开始编制大数阶乘的程序。 从 2000 年开始写第一个大数阶乘程序算起，到现在大约己有 6-7 年的时光，期间我写了多个版本的阶乘计算器，在阶乘计算器的算法探讨和程序的编写和优化上，我花费了很大的时间和精力，品尝了这一过程中的种种甘苦，我曾因一个新算法的实现而带来速度的提升而兴奋，也曾因费了九牛二虎之力但速度反而不及旧的版本而懊恼，也有过因解一个 bug 而通宵敖夜的情形。我写的大数阶乘的一些代码片段散见于互联网络，而算法和构想则常常萦绕在我的脑海。自以为，我对大数阶乘计算器的算法探索在深度和广度上均居于先进水平。我常常想，应该写一个关于大数阶乘计算的系列文章，一为整理自己的劳动成果，更重要的是可以让同行分享我的知识和经验，也算为 IT 界做一点儿贡献吧。

　

　 我的第一个大数阶乘计算器始于2000年，那年夏天，我买了一台电脑，开始在家专心学习VC，同时写了我的第一个VC程序，一个仿制windows界面的计算器。该计算器的特点是高精度和高速度，它可以将四则运算的结果精确到6万位以内，将三角、对数和指数函数的结果精确到300位以内，也可以计算开方和阶乘等。当时，我碰巧看到一个叫做实用计器的软件。值得称颂的是，该计算器的作者姜边竟是一个高中生，他的这个计算器功能强大，获得了各方很高的评价。该计算的功能之一是可以计算9000以内阶乘的精确值，且速度很快。在佩服之余，也激起我写一个更好更快的程序的决心，经过几次改进，终于使我的计算器在做阶乘的精确计算时 (以9000!为例)，可比实用计算器快10倍。而当精确到30多位有效数字时，可比windows自带的计算器快上7500倍。其后的2001年1月，我在csdn上看到一个贴子，题目是“有谁可以用四行代码求出1000000的阶乘”，我回复了这个贴子，给出一个相对简洁的代码，这是我在网上公布的第一个大数阶乘的程序。这一时期，可以看作是我写阶乘计算器的第一个时期。

 

　　我写阶乘计算器的第二个时期始于2003年9月，在那时我写了一组专门计算阶乘的程序，按运行速度来分，分为三个级别的版本，初级版、中级版和高级版。初级版本的算法许多人都能想到，中级版则采用大数乘以大数的硬乘法，高级版本在计算大数乘法时引入分治法。期间在csdn社区发了两个贴子，“擂台赛：计算n!(阶乘)的精确值，速度最快者2000分送上”和“擂台赛：计算n!(阶乘)的精确值，速度最快者2000分送上（续）”。其高级算的版本完成于2003年11月。此后，郭先强于 2004 年 5 月 10 日 也发表了系列贴子，“擂台：超大整数高精度快速算法”、“擂台：超大整数高精度快速算法(续)”和“擂台：超大整数高精度快速算法(续2)”, 该贴重点展示了大数阶乘计算器的速度。这个贴子一经发表即引起了热列的讨论，除了我 和郭先强 先生外，郭雄辉也写了同样功能的程序，那时，大家都在持续改进自己的程序，看谁的程序更快。初期，郭先强的稍稍领先，中途郭子将apfloat的代码应用到阶乘计算器中，使得他的程序胜出，后期（2004年8月后）在我将程序作了进一步的改进后，其速度又稍胜于他们。在这个贴子中，arya提到一个开放源码的程序，它的大数乘法采用FNT＋CRT(快速数论变换＋中国剩余定理)。郭雄辉率先采用apflot来计算大数阶乘，后来郭先强和我也参于到apfloat的学习和改进过程中。在这点上，郭先强做得非常好，他在apfloat的基础上，成功地优化和改时算法，并应用到大数阶乘计算器上，同时他也将FNT算法应用到他的＜超大整数高精度快速算法库＞中，并在2004.10.18正式推出V 3.0.2 .1版。此后，我在 2004 年 9 月 9 日 也完成一个采用FNT算法的版本，但却不及郭先强的阶乘计算器快。那时，郭先强的程序是我们所知的运算速度最快的阶乘计算器，其速度超过久负盛名的数学软件Mathematica和Maple,以及通用高精度算法库GMP。

　　

　　我写阶乘计算器的第三个时间约开始于2006年，在2005年8月收到北大 刘楚雄 老师的一封e-mail，他提到了他写的一个程序在计算阶乘时比我们的更快。这使我非常吃惊，在询问后得知，其核心部分使用的是ooura写的FFT函数。ooura的FFT代码完全公开，是世界上运行的最快的FFT程序之一，从这点上，再次看到了我们和世界先进水平的差距。佩服之余，我决定深入学习FFT算法，看看能否写出和ooura速度相当或者更快的程序，同时一个更大计划开始形成，即写一组包括更多算法的阶乘计算器，包括使用FFT算法的终极版和使用无穷级数的stirling公式来计算部分精度的极速版，除此之外，我将重写和优化以前的版本，力争使速度更快，代码更优。这一计划的进展并不快，曾一度停止。

　　

　　目前，csdn上blog数量正在迅速地增加，我也萌生了写blog的计划，借此机会，对大数阶乘之计算作一个整理，用文字和代码详述我的各个版本的算法和实现，同时也可能分析一些我在网上看到的别人写的程序，当然在这一过程中，我会继续编写未完成的版本或改写以前己经实现的版本，争取使我公开的第一份代码都是精品，这一过程可能是漫长的，但是我会尽力做下去。