Catalan数（转自百度百科）

Catalan数

　　中文: 卡特兰数
　　原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　 h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　另类递归式：
　　 h(n)=((4*n-6)/(n))*h(n-1);
　　该递推关系的解为：
　　 h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)
　　我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数分析问题。
　　我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
　　 1.括号化问题。
　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
　　 2.出栈次序问题。
　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　 3.将多边行划分为三角形问题。
　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
　　4. 给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树!
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是 h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能构成h（N）个）