[置顶] 算法导论 之 动态规划 - 矩阵链相乘

• 作者：邹祁峰
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• 日期：2014.05.08
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1 引言

    在大学期间，我们学过高等数学中的线性规划，其中有关于矩阵相乘的章节：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，A×B才有意义。一个m×n的矩阵A（m，n）左乘一个n×p的矩阵B（n，p），会得到一个m×p的矩阵C（m，p）。矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

    假设现要计算A×B×C×D的值，因矩阵乘法满足结合律，不满足交换律，即：A、B、C、D相邻成员的相乘顺序不会影响到最终的计算结果，比如： A×(B×(C×D))、A×((B×C)×D)、(A×B)×(C×D)、A×(B×C)×D、((A×B）×C)×D，虽然组合方式不一样，但是最终的计算结果是一致的，但改变任何成员的位置将影响到最终的计算结果。

    需要注意的是：虽然矩阵链相乘时，结合方式不同所得结果一致，但获得最终结果的所花费的时间是不一样的。假如：现有矩阵A(10，100)、B(100，5)、C(5，50)，则不同结合方式的运算次数如下：

    运算次数N1[(A×B)×C] = 10*100*5+10*5*50 = 5000 + 2500 = 7500

    运算次数N2[A×(B×C)] = 100*5*50 + 10*100*50 = 25000 + 50000 = 75000

    N1：N2 = 7500 : 75000 = 1:10，经过对比可以发现：不同的矩阵相乘的结合方式在性能方面的表现差异十分悬殊。而《动态规划 之 矩阵链相乘》就是针对此种问题的存在，从中选择最佳的矩阵结合方式，提高此类问题的求解效率。

2 处理思路

    那么针对矩阵链相乘的问题，怎样才能选出最佳的结合方式呢？在《算法导论》一书＂动态规划＂的小节中给出了对此类问题的解决方案，但过程让人费解．在此，本人将给出更加简单，更加清晰的处理思路，以供大家参考。

   假设现有矩阵A1(50，30)、A2(30，20)、A3(20，100)、A4(100，10)、A5(10，5)，要求以最快的方式计算出它们相乘的结果。

图1 初始状态

Step1：计算相邻矩阵相乘的计算次数

    N[A1×A2] = 50*30*20  = 30000

    N[A2×A3] = 30*20*100 = 60000

    N[A3×A4] = 20*100*10 = 20000

    N[A4×A5] = 100*10*5  = 5000    - 最小

    由以上的计算结果可知N[A4*A4]的值最小，因此首先结合矩阵A4(100，10)和A5(10，5)，得到矩阵B(100, 5)。此时所剩矩阵为：A1(50，30)、A2(30，20)、A3(20，100)、B(100，5)。

图2 矩阵A4与A5结合

Step2：计算相邻矩阵相乘的运算次数

    N[A1×A2] = 50*30*20  = 30000     - 不变

    N[A2×A3] = 30*20*100 = 60000     - 不变

    N[A3×B]  = 20*100*5  = 10000     - 最小

    同理，结合矩阵A3和A45，得到矩阵C(20, 5)。此时所剩矩阵为：A1(50，30)、A2(30，20)、C(20，5)。

图3 矩阵A3与B结合

Step3：计算相邻矩阵相乘的运算次数

    N[A1×A2] = 50*30*20 = 30000         - 不变

    N[A2×C]  = 30*20*5 = 3000           - 最小

    同理，结合矩阵A2和C，得到矩阵D(30, 5)。此时所剩矩阵为：A1(50，30)、D(30，5)。

图4 矩阵A2与C结合

Step4：最终计算顺序

    由以上3步的统计结果可知最佳的计算方式为：A1×(A2×(A3×(A4×A5)))，用树来表示计算顺序的话，其结构如下图所示：

图5 最佳计算顺序

    如果需要以最快的方式计算A1*A2*A3*A4*A5的结果的话，则只需要遍历图5中的二叉树，便能找到最快的计算顺序。当然如果矩阵A1、A2、A3、A4、A5有其他的行列数时，最佳计算顺序可能为A1×（（A2×A3）×（A4×A5）），则用二叉树表示为：

图6 其他可能最佳顺序

有了处理思路，一切就变得简单了...