网络流

网络流

 

网络流

很多问题都可以转化成网络流问题，如运输货物时的物流问题，水流问题，匹配问题等等。网络是一个各条边都有权值和方向的图。

网络流问题，一般情况下我们会把各种网络问题抽象成网络流问题，网络流是满足以下性质的网络：每一条边拥有一个最大的容量c，即该条边可以容纳的最大流量，f是流过该边的实际流量，且总有f<=c。对于图中每个顶点（源点和汇点除外）都有流出的流量等于流入的流量。图中只有一个源点一个汇点，且对于源点来说其流入量为0，对于汇点来说流出量为0，源点的流出量等于汇点的流入量，对于最大流问题既是要找出流入汇点的最大流量值。

求最大流的算法：

EK算法：EK算法中涉及的三个关键词：残留网络，增广路，割。

残留网络，假定我们已经找到了一个可行的流，那么对于每条边如果流量小于容量则表示该条边有剩余，以流的流量我们也可以看成是反向的残留，得到一个残留网络。

增广路：在残留网络中如果可以找到一条从源点到汇点的路，即为增广路，我们就可以将流值增加这条增广路上的最小边。

EK算法就是在残留网络中寻找增广路使得流值不断增大，直至达到最大为止。

Ek算法由于在寻找增广路时具有盲目性，算法效率不高。

 

Dinic算法：基于EK算法的思想，再从源点到汇点做bfs来寻找路时，对各点标一个层次值表示从源点到该点所需的最小步数，然后在这些层次的基础上做dfs，dfs的时候只能到其下一层的点，且容量需要比已流流量大，然后重复上述过程即可得到解。

 

最大流和最小割，如果我们想要把一个网络分成两部分，一部分包含源点s，另一部分包含汇点t，我们把这个集合之间，从源集合到汇集合之间的正向流量之和，称为是网络的割，而一个网络的割中最小的那个，我们称之为最小割。

最大流最小割定理：一个网络的最小割等于最大流。

 

最小费用最大流：在保证最大流的情形下，网络中的边，可能不只有流量还有费用，那么如果我们一方面希望网络拥有最大流，另一方面我们要求费用达到最小，这就是一个费用流的问题了，对于费用流的问题，事实上我们可以这么考虑，首先我们必须要找到的是最大流，另一方面我们需要费用最小，而在找最大流的时候我们总是在寻找增广路来增广，来使得我们能得到一个比现在更大的流，那么另一方面要求费用最小，所以我们可以在寻找增广路的时候找一条费用最小路来增广，而费用我们也可以看成是距离类的东西，也就是这样的话，我们可以用最短路，来找出这样一个最小费用的路来进行增广，而不断增广，即可得到最大流，这样我们就可以得到最小费用最大流。

 

网络流和费用流中经常会涉及到拆点的操作，将一个点分成入和出，来拆成两个点。例如联合训练赛的第六场第一个题目tour，给出一张图，要求将这个图划分成几个集合，要求每个集合的点的个数大于等于2，要求这个集合所有点可以构成一个环。图中的每条边都有一个边权，最后找到各个集合的总花费为所有构成环的边的权之和。要求这个花费最小。分析题目可以知道，我们最后分成各个集合之后一定是每个点的出度和入度都为1，所以这个题经过拆点之后就是最小权匹配问题，用km算法即可解决，当然我们也可以将它转化成一费用流问题，将图中的每个节点都拆成入和出两个点，增加源和汇，源点到进入的点连一条费用为0，流量为1的边，从出点到汇连一条费用为0，流量为1的边，原图中的边都练成费用为边权，流量为1的边 ，最后只要求这个网络的最小费用流即可。另外对于一些题是点权而不是边权的题目，也可以通过拆点来将点权转化成边权。所以拆点的想法在网络流中十分重要。