PKU 1861 Network/PKU 2485 Highways

PKU 1861 Network/PKU 2485 Highways

问题:
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1861
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2485

思路:
这里题目并没有明确要求求最小生成树，而是要求一颗最长边最小的生成树
我们可以证明:
       如果T是一颗最小生成树，那么T所包含的最长边一定是所有生成树中最小的，即最小生成树满足题目要求
Prove:
如果T的最长边(x, y)并非最小
那么，存在一颗生成树R，其最长边(u, v)<(x, y)，即生成树R的任何一条边都小于(x, y)
现在，采用剪切-粘帖的方法来证明T不是一颗最小生成树，即矛盾
将T中的最长边(x, y)剪切掉，这样就得到两颗子树
在R中，至少存在一条边(p, q)可以将这两颗子树连接起来，这样就得到:
           T - (x, y) + (p, q) < T

代码(这里采用Kruskal算法，并查集实现)

 1  /*  union-find sets, Kruskal algorithm  */
 2  #include < stdio.h >
 3  #include < stdlib.h >
 4  #include < string .h >
 5  #define  MAX_N 1001
 6  #define  MAX_M 15001
 7  struct  Edge{
 8       int  len;
 9       int  from, to;
10  }edges[MAX_M];
11  int  parent[MAX_N], rank[MAX_N];
12  int  n, m;
13 
14  void
15  make_set()
16  {
17       int  i;
18       for (i = 1 ; i <= n; i ++ )
19          parent[i]  =  i;
20      memset(rank,  0 ,  sizeof (rank));
21  }
22 
23  int
24  find( int  x)
25  {
26       int  tmp, rt  =  x;
27       while (parent[rt]  !=  rt)
28          rt  =  parent[rt];
29       while (x  !=  rt) {
30          tmp  =  parent[x];
31          parent[x]  =  rt;
32          x  =  tmp;
33      }
34       return  rt;
35  }
36 
37  void
38  Union( int  x,  int  y)
39  {
40       int  a  =  find(x);
41       int  b  =  find(y);
42       if (a  ==  b)
43           return ;
44       if (rank[a]  >  rank[b])
45          parent[b]  =  a;
46       else  {
47          parent[a]  =  b;
48           if (rank[a]  ==  rank[b])
49               ++ rank[b];
50      }
51  }
52 
53  int
54  compare( const   void   * arg1,  const   void   * arg2)
55  {
56       return  (( struct  Edge  * )arg1) -> len  -  (( struct  Edge  * )arg2) -> len;
57  }
58 
59  void
60  init()
61  {
62       int  i;
63       for (i = 0 ; i < m; i ++ ) 
64          scanf( " %d %d %d " ,  & edges[i].from,  & edges[i].to,  & edges[i].len);
65      qsort(edges, m,  sizeof ( struct  Edge), compare);
66  }
67 
68  void
69  kruskal()
70  {
71       int  i, a, b, count  =   0 ;
72       int  mark[MAX_N];
73      make_set();
74       for (i = 0 ; i < m; i ++ ) {
75          a  =  find(edges[i].from);
76          b  =  find(edges[i].to);
77           if (a  !=  b) {
78              mark[count ++ ]  =  i;
79              Union(a, b);
80          }
81      }
82       /*  output  */
83      printf( " %d\n " , edges[mark[count - 1 ]].len);
84      printf( " %d\n " , count);
85       for (i = 0 ; i < count; i ++ )
86          printf( " %d %d\n " , edges[mark[i]].from, edges[mark[i]].to);
87  }
88 
89  int
90  main( int  argc,  char   ** argv)
91  {
92       while (scanf( " %d %d " ,  & n,  & m)  !=  EOF) {
93          init();
94          kruskal();
95      }
96  }