LeetCode 209. Minimum Size Subarray Sum (O(n)实现)

动态规划：

len[i]: 

        - 若存在begin使得sum(nums.begin()+begin, nums.begin()+i+1)>=s且sum(nums.begin()+begin-1, nums.begin()+i+1)<s，那么len[i] = i - begin + 1 (这串数字的长度)

        - 反之，len[i] = len[i - 1] + 1;

sum[i]: 

        - 若存在上述begin, sum = sum(nums.begin()+begin, nums.begin()+i+1)；

        - 反之，sum = sum(nums.begin(), nums.begin()+i+1);

所求结果（函数返回值）即为：

        min_element(len[i]); // 其中i满足sum[i] >= s

初始化：

        len[0] = 1;

        sum[0] = nums[0];

动态方程

        参见代码中的for循环迭代。

时间复杂度分析

        注意到，我们在循环外引入了一个变量begin. 时间复杂度分析与这个begin有关： 

        这有用到势能函数的概念，可以发现在整个函数中，begin向前移进不会超过nums.size(), 这是我在嵌套for的判断条件中没有显式约定的。因此，这个嵌套for中的判断总共被执行的次数不会超过2n次，每次i都移进一次begin, 第二次判断时不满足约束，终止for. 所以其在函数中的复杂度为O(n).

        而关于i的for循环，显然也是O(n).

        所以函数的时间复杂度为O(n).

代码：

class Solution 
{
public:
    int minSubArrayLen(int s, vector<int>& nums) 
    {
    	if (nums.empty())
    	{
    		return 0;
    	}

    	vector<int> sum(nums.size(), 0);
    	vector<int> len(nums.size(), 0);
    	sum[0] = nums[0];
    	len[0] = 1;
    	int min_len = sum[0]>=s? 1: INT_MAX;
    	int begin = 0;

    	for (size_t i = 1; i < nums.size(); ++ i)
    	{
 			sum[i] = sum[i-1] + nums[i];
    		if (sum[i] < s)
    		{
    			len[i] = len[i-1] + 1;
    		} else
    		{
    			// note that this 'begin' won't be larger than nums.size()
    			for (; sum[i] - nums[begin] >= s; sum[i] -= nums[begin], ++ begin) {}
    			len[i] = i - begin + 1;
    			min_len = min(min_len, len[i]);
    		}
    	}

    	return min_len==INT_MAX? 0: min_len;
    }
};