单源最短路系列 5

单源最短路系列 5

本篇主要是证明一些单源最短路的性质。

开始说明性质之前，给出如下的定义：
表示源s到v的最短距离，也是最短路解的结果。
表示在求解过程中对 的估计。
表示节点v在最短路中的前驱。

做如下操作：


做如下操作：
若 则

下面若无特殊说明，则默认以下条件：
是一个有向带权图，源为s，权函数

(Property Triangle inequality)对所有的边 有 。

Proof
   是源s到v的最短距离，那么它当然小于这么一条特殊的路线：从s出发走最短路到u(此时距离为 )接着直接由u到v(再加上距离 )，证毕。


(Upper-Bound Property)INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)后，有不等式 成立，且该不等式在往后的任何顺序的松驰(Relaxation)操作都保持不变。一旦 则d(v)就保持不变。

Proof
    用数学归纳法对relax操作步数进行归纳证明。当初始化后， (若s处于一个带负权的环中，则 ;否则 )。而 。
    现在看第k步Relax操作，在此之前，由归纳假设有 。不失一般性，假设第k步Relax是对边(u,v)进行操作，若 ，则 不变，由归纳假设有， ；若， ，则Relax之后有不等式
    
每次对边(u,v)进行Relaxation操作时， 只会减少，当 减到 时，它无法再减少了，但它也无法增加，所以 就保持 不变。


(No-path Property)若源s无法到达点v，则 总成立。

Proof
    由上面的Upper-Bound Property知， ，所以 。证毕。



引理1：在Relax(u,v)完后立即有

Proof    若 ，引理成立；若 ，则Relax(u,v)后，有



(Convergence Property)假设路径从s到u再直接到v是一条最短路，若在Relax(u,v)之前的任何时刻，只要 则Relax(u,v)之后有

Proof    由条件知在Relax(u,v)之前有 ，则Relax(u,v)之后，有 。第一个不等号用到引理1，第一个等号用到定理的假设，第二个等号用到最短路的最优子结构：最短路的子路径也是最短路， 而 不可能大于 ，否则 违反了 是s到u的最短距离的假设。
再由Upper-Bound Property有 。由上面两式有 。证毕。



(Path-relaxation Property)设 是一条最短路。若ININITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)后有一系列的Relax操作，依次作用在边 上，则最后有 且之后都不变。这些Relax操作之间可以加入任何其它的Relax操作，包括Relax该最短路上的边。

Proof    用数学归纳法对Relax边的次序进行归纳。首先INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)后，有 。设第i-1条边被Relax后有 。由Upper-Bound Property知这个等式之后都保持不变。特别的在 时有 ，由Convergence Property知Relax操作后有 且该等式之后保持不变。证毕。