B-样条基函数：计算实例
B-样条基函数：计算实例
B-spline Basis Functions: Computation Examples
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下面详细讨论两个实例，一个是简单节点（knot）的，另一个是多重节点的。
简单节点（Simple Knots ）
假设节点向量是U = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }. 因此, m = 4 和u0 = 0, u1 = 0.25, u2 = 0.5, u3 = 0.75 及 u4 = 1。0次（degree）基函数很简单。 它们分别是定义在节点跨度 [0,0.25,), [0.25,0.5), [0.5,0.75) 和 [0.75,1)上的N0,0(u), N1,0(u), N2,0(u)和N3,0(u) ,如下图所示。
下表给出了所有的Ni,1(u)：
| Basis Function |
Range |
Equation |
| N0,1(u) |
[0, 0.25) |
4u |
| [0.25, 0.5) |
2(1 - 2u) |
|
| N1,1(u) |
[0.25, 0.5) |
4u - 1 |
| [0.5, 0.75) |
3 - u |
|
| N2,1(u) |
[0.5, 0.75) |
2(2u - 1) |
| [0.75, 1) |
4(1 - u) |
接着展示这些基函数的图形。因为内节点0.25, 0.5和0.75都是简单的(即， k = 1) 且p = 1，有p - k + 1 = 1非零基函数和三个节点。 而且， N0,1(u), N1,1(u) 和 N2,1(u)在节点0.25, 0.5 和 0.75分别是C0 连续的。
从Ni,1(u)可计算2次基函数。因此m = 4, p = 2, 和 m = n + p + 1，我们有n = 1所以只有两个2次基函数：N0,2(u)和 N1,2(u). 结果见下表：
| Basis Function |
Range |
Equation |
| N0,2(u) |
[0, 0.25) |
8u2 |
| [0.25, 0.5) |
-1.5 + 12u - 16 u2 |
|
| [0.5, 0.75) |
4.5 - 12u + 8 u2 |
|
| N1,2(u) |
[0.25, 0.5) |
0.5 - 4u + 8u2 |
| [0.5, 0.75) |
-1.5 + 8u - 8u2 |
|
| [0.75, 1) |
8(1 - u)2 |
下图显示了两个基函数。三条垂直蓝线表示节点位置。注意每个基函数是三个2次曲线段的组合曲线。例如， N0,2(u) 是绿色曲线，其是定义在[0,0.25), [0.25, 0.5) 和 [0.5,0.75)上的三个抛物线的联合。这些曲线段连接在一起形成一个光滑的钟形。请验证 N0,2(u,) (resp., N1,2(u)) 在节点 0.25 和 0.5 (resp., 0.5 和 0.75)是 C1 连续的。如前页所提到的，在节点处，这个复合曲线是C1 连续的。
带正重复度的节点
如果一个节点向量包含有正重复度的节点，我们会遇到 0/0的情况，后面会遇到。因此我们定义 0/0 等于0。 幸运的是，这只用于手工计算的情况。对计算机实现，有个有效的算法，不受这个问题影响。如果ui 是重复度 k 的节点(即ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 那么节点区间[ui,ui+1), [ui+1,ui+2), ..., [ui+k-2,ui+k-1) 不存在，结果是，Ni,0(u), Ni+1,0(u), ..., Ni+k-1,0(u) 都是零函数。
考虑节点向量 U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. 因此，0 和1 是重复度3 (即， 0(3)和 1(3)) 而 0.5 是重复度2 (即， 0.5(2)). 结果是， m = 9而节点分配是
| u0 |
u1 |
u2 |
u3 |
u4 |
u5 |
u6 |
u7 |
u8 |
u9 |
| 0 |
0 |
0 |
0.3 |
0.5 |
0.5 |
0.6 |
1 |
1 |
1 |
现在计算 Ni,0(u)。 注意因为 m = 9 且 p = 0 ( 0 次基函数), 我们有n = m - p - 1 = 8。如下表所示，只有四个0次非零基函数： N2,0(u), N3,0(u), N5,0(u) 和 N6,0(u).
| 基函数 |
范围 |
方程 |
备注 |
| N0,0(u) |
所有 u |
0 |
因为 [u0, u1) = [0,0) 不存在 |
| N1,0(u) |
所有 u |
0 |
因为 [u1, u2) = [0,0) 不存在 |
| N2,0(u) |
[0, 0.3) |
1 |
|
| N3,0(u) |
[0.3, 0.5) |
1 |
|
| N4,0(u) |
所有 u |
0 |
因为 [u4, u5) = [0.5,0.5) 不存在 |
| N5,0(u) |
[0.5, 0.6) |
1 |
|
| N6,0(u) |
[0.6, 1) |
1 |
|
| N7,0(u) |
所有 u |
0 |
因为 [u7, u8) = [1,1) 不存在 |
| N8,0(u) |
所有 u |
0 |
因为 [u8, u9) = [1,1) 不存在 |
然后，我们继续计算1次基函数。因为 p 为 1, n = m - p - 1 = 7. 下表显示了结果：
| 基 函 数 |
范 围 |
方 程 |
| N0,1(u) |
所有 u |
0 |
| N1,1(u) |
[0, 0.3) |
1 - (10/3)u |
| N2,1(u) |
[0, 0.3) |
(10/3)u |
| [0.3, 0.5) |
2.5(1 - 2u) |
|
| N3,1(u) |
[0.3, 0.5) |
5u - 1.5 |
| N4,1(u) |
[0.5, 0.6) |
6 - 10u |
| N5,1(u) |
[0.5, 0.6) |
10u - 5 |
| [0.6, 1) |
2.5(1 - u) |
|
| N6,1(u) |
[0.6, 1) |
2.5u - 1.5 |
| N7,1(u) |
所有 u |
0 |
下图显示了这些基函数的图形。
让我们看一个特别的计算，比如N1,1(u). 。它使用下式计算的：
将u1 = u2 = 0 和 u3 = 0.3 代入这个方程产生下式：
因为 N1,0(u) 到处为零，第一项是0/0 因此被定义为零。因而，只有第二项对结果有影响。因为 N2,0(u) 在 [0,0.3)上是1， N1,1(u) 在 [0,0.3)上是1 - (10/3)u 。
接着，让我们计算所有的Ni,2(u)。因为 p = 2, 我们有 n = m - p - 1 = 6。下表包含了所有的Ni,2(u):
| 基 函 数 |
范 围 |
方 程 |
| N0,2(u) |
[0, 0.3) |
(1 - (10/3)u)2 |
| N1,2(u) |
[0, 0.3) |
(20/3)(u - (8/3)u2) |
| [0.3, 0.5) |
2.5(1 - 2u)2 |
|
| N2,2(u) |
[0, 0.3) |
(20/3)u2 |
| [0.3, 0.5) |
-3.75 + 25u - 35u2 |
|
| N3,2(u) |
[0.3, 0.5) |
(5u - 1.5)2 |
| [0.5, 0.6) |
(6 - 10u)2 |
|
| N4,2(u) |
[0.5, 0.6) |
20(-2 + 7u - 6u2) |
| [0.6, 1) |
5(1 - u)2 |
|
| N5,2(u) |
[0.5, 0.6) |
12.5(2u - 1)2 |
| [0.6, 1) |
2.5(-4 + 11.5u - 7.5u2) |
|
| N6,2(u) |
[0.6, 1) |
2.5(9 - 30u + 25u2) |
下图显示了所有2次基函数。
让我们选一个典型的计算作为例子，如N3,2(u)。计算式是下式：
代入 u3 = 0.3, u4 = u5 = 0.5 和 u6 = 0.6得到
因为 N3,1(u) 在 [0.3, 0.5)上非零且等于5u - 1.5，(5u - 1.5)2 是N3,2(u) 在[0.3, 0.5)上的非零部分。因为N4,1(u) 在 [0.5, 0.6)上非零且等于6 - 10u, (6 - 10u)2 是 N3,2(u) 在[0.5, 0.6)上的非零部分。
让我们研究在节点0.5(2)处的连续问题。因为它的重复度是2 且这些基函数的次数是 2, 基函数 N3,2(u) 在0.5(2)处是C0 连续的。这就是为什么N3,2(u) 在0.5(2)处有个尖锐的角。对不在两个端点处的节点，例如 0.3,保持了 C1 连续性因为它们都是简单节点。
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译注：
- 本文翻译是“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”中的一部分，其余翻译部分见“B-样条曲线（B-spline Curves）教程目录”。
- “B-样条曲线（B-spline Curves）教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
- 本文原文地址：B-spline Basis Functions: Computation Examples 。
- 本文首发“博士数学家园 ”