多串匹配-AC自动机

    首先简要介绍一下AC自动机：Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。AC自动机算法分为3步：构造一棵Trie树，构造失败指针和模式匹配过程。
    如果你对KMP算法和了解的话，应该知道KMP算法中的next函数（shift函数或者fail函数）是干什么用的。KMP中我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符，当A[i+1]≠B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配，而next函数恰恰记录了这个j应该调整到的位置。同样AC自动机的失败指针具有同样的功能，也就是说当我们的模式串在Tire上进行匹配时，如果与当前节点的关键字不能继续匹配的时候，就应该去当前节点的失败指针所指向的节点继续进行匹配。
    看下面这个例子：给定5个单词：say she shr he her，然后给定一个字符串yasherhs。问一共有多少单词在这个字符串中出现过。我们先规定一下AC自动机所需要的一些数据结构，方便接下去的编程。

 1  const   int  kind  =   26 ; 
 2  struct  node{  
 3      node  * fail;        // 失败指针
 4      node  * next[kind];  // Tire每个节点的个子节点（最多个字母）
 5       int  count;         // 是否为该单词的最后一个节点
 6      node(){            // 构造函数初始化
 7          fail = NULL; 
 8          count = 0 ; 
 9          memset(next,NULL, sizeof (next)); 
10      } 
11  } * q[ 500001 ];           // 队列，方便用于bfs构造失败指针
12  char  keyword[ 51 ];      // 输入的单词
13  char  str[ 1000001 ];     // 模式串
14  int  head,tail;         // 队列的头尾指针

 

有了这些数据结构之后，就可以开始编程了：
    首先，将这5个单词构造成一棵Tire，如图-1所示。

 

 1  void  insert( char   * str,node  * root){ 
 2      node  * p = root; 
 3       int  i = 0 ,index;  
 4       while (str[i]){ 
 5          index = str[i] - ' a ' ; 
 6           if (p -> next[index] == NULL) p -> next[index] = new  node();  
 7          p = p -> next[index];
 8          i ++ ;
 9      } 
10      p -> count ++ ;      // 在单词的最后一个节点count+1，代表一个单词
11  }

在构造完这棵Tire之后，接下去的工作就是构造下失败指针。构造失败指针的过程概括起来就一句话：设这个节点上的字母为C，沿着他父亲的失败指针走，直到走到一个节点，他的儿子中也有字母为C的节点。然后把当前节点的失败指针指向那个字母也为C的儿子。如果一直走到了root都没找到，那就把失败指针指向root。具体操作起来只需要：先把root加入队列(root的失败指针指向自己或者NULL)，这以后我们每处理一个点，就把它的所有儿子加入队列，队列为空。

 1  void  build_ac_automation(node  * root){
 2     int  i;
 3      root -> fail = NULL; 
 4      q[head ++ ] = root; 
 5       while (head != tail){ 
 6          node  * temp = q[tail ++ ]; 
 7          node  * p = NULL; 
 8           for (i = 0 ;i < 26 ;i ++ ){ 
 9               if (temp -> next[i] != NULL){ 
10                   if (temp == root) temp -> next[i] -> fail = root;                 
11                   else { 
12                      p = temp -> fail; 
13                       while (p != NULL){  
14                           if (p -> next[i] != NULL){ 
15                              temp -> next[i] -> fail = p -> next[i]; 
16                               break ; 
17                          } 
18                          p = p -> fail; 
19                      } 
20                       if (p == NULL) temp -> next[i] -> fail = root; 
21                  } 
22                  q[head ++ ] = temp -> next[i];  
23              } 
24          }   
25      } 
26  }

    从代码观察下构造失败指针的流程： 对照图 -2 来看，首先 root 的 fail 指针指向 NULL ，然后 root 入队，进入循环。第 1 次循环的时候，我们需要处理 2 个节点： root->next[‘h’-‘a’]( 节点 h) 和 root->next[‘s’-‘a’]( 节点 s) 。把这 2 个节点的失败指针指向 root ，并且先后进入队列，失败指针的指向对应图 -2 中的 (1) ， (2) 两条虚线；第 2 次进入循环后，从队列中先弹出 h ，接下来 p 指向 h 节点的 fail 指针指向的节点，也就是 root ；进入第 13 行的循环后， p=p->fail 也就是 p=NULL ，这时退出循环，并把节点 e 的 fail 指针指向 root ，对应图 -2 中的 (3) ，然后节点 e 进入队列；第 3 次循环时，弹出的第一个节点 a 的操作与上一步操作的节点 e 相同，把 a 的 fail 指针指向 root ，对应图 -2 中的 (4) ，并入队；第 4 次进入循环时，弹出节点 h( 图中左边那个 ) ，这时操作略有不同。在程序运行到 14 行时，由于 p->next[i]!=NULL(root 有 h 这个儿子节点，图中右边那个 ) ，这样便把左边那个 h 节点的失败指针指向右边那个 root 的儿子节点 h ，对应图 -2 中的 (5) ，然后 h 入队。以此类推：在循环结束后，所有的失败指针就是图 -2 中的这种形式。

  最后，我们便可以在AC自动机上查找模式串中出现过哪些单词了。匹配过程分两种情况：(1)当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；(2)当前字符不匹配，则去当前节点失败指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中的任意一个，直到模式串走到结尾为止。

 1  int  query(node  * root){ 
 2       int  i = 0 ,cnt = 0 ,index,len = strlen(str); 
 3      node  * p = root;  
 4       while (str[i]){  
 5          index = str[i] - ' a ' ;  
 6           while (p -> next[index] == NULL  &&  p != root) p = p -> fail; 
 7          p = p -> next[index]; 
 8          p = (p == NULL) ? root:p; 
 9          node  * temp = p; 
10           while (temp != root  &&  temp -> count !=- 1 ){ 
11              cnt += temp -> count; 
12              temp -> count =- 1 ; 
13              temp = temp -> fail; 
14          } 
15          i ++ ;                 
16      }    
17       return  cnt; 
18  }

    对照图-2，看一下模式匹配这个详细的流程，其中模式串为yasherhs。对于i=0,1。Trie中没有对应的路径，故不做任何操作；i=2,3,4时，指针p走到左下节点e。因为节点e的count信息为1，所以cnt+1，并且讲节点e的count值设置为-1，表示改单词已经出现过了，防止重复计数，最后temp指向e节点的失败指针所指向的节点继续查找，以此类推，最后temp指向root，退出while循环，这个过程中count增加了2。表示找到了2个单词she和he。当i=5时，程序进入第5行，p指向其失败指针的节点，也就是右边那个e节点，随后在第6行指向r节点，r节点的count值为1，从而count+1，循环直到temp指向root为止。最后i=6,7时，找不到任何匹配，匹配过程结束。