混合高斯模型(Mixtures of Gaussians)和EM算法

这篇讨论使用期望最大化算法(Expectation-Maximization)来进行密度估计(density estimation)。

      与k-means一样,给定的训练样本是clip_image002,我们将隐含类别标签用clip_image004表示。与k-means的硬指定不同,我们首先认为clip_image004[1]是满足一定的概率分布的,这里我们认为满足多项式分布,clip_image006,其中clip_image008clip_image004[2]有k个值{1,…,k}可以选取。而且我们认为在给定clip_image004[3]后,clip_image010满足多值高斯分布,即clip_image012。由此可以得到联合分布clip_image014

      整个模型简单描述为对于每个样例clip_image010[1],我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个clip_image016,然后根据clip_image016[1]所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例clip_image010[2],。整个过程称作混合高斯模型。注意的是这里的clip_image016[2]仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量clip_image018clip_image020。最大似然估计为clip_image022。对数化后如下:

      混合高斯模型(Mixtures of Gaussians)和EM算法_第1张图片

      这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的,因为求的结果不是close form。但是假设我们知道了每个样例的clip_image016[3],那么上式可以简化为:

      clip_image024

       这时候我们再来对clip_image018[1]clip_image020[1]进行求导得到:

      混合高斯模型(Mixtures of Gaussians)和EM算法_第2张图片

      clip_image027就是样本类别中clip_image029的比率。clip_image031是类别为j的样本特征均值,clip_image033是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。

实际上,当知道clip_image016[4]后,最大似然估计就近似于高斯判别分析模型(Gaussian discriminant analysis model)了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布,而这里的z是多项式分布,还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵,而GDA中认为只有一个。

      之前我们是假设给定了clip_image016[5],实际上clip_image016[6]是不知道的。那么怎么办呢?考虑之前提到的EM的思想,第一步是猜测隐含类别变量z,第二步是更新其他参数,以获得最大的最大似然估计。用到这里就是:

循环下面步骤,直到收敛: {

      (E步)对于每一个i和j,计算

                  clip_image035

      (M步),更新参数:

                  混合高斯模型(Mixtures of Gaussians)和EM算法_第3张图片

}

      在E步中,我们将其他参数clip_image038看作常量,计算的后验概率,也就是估计隐含类别变量。估计好后,利用上面的公式重新计算其他参数,计算好后发现最大化最大似然估计时,clip_image042值又不对了,需要重新计算,周而复始,直至收敛。

      clip_image042[1]的具体计算公式如下:

      clip_image043

      这个式子利用了贝叶斯公式。

      这里我们使用clip_image045代替了前面的clip_image047,由简单的0/1值变成了概率值。

      对比K-means可以发现,这里使用了“软”指定,为每个样例分配的类别clip_image040[1]是有一定的概率的,同时计算量也变大了,每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是,结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。

      虽然之前再K-means中定性描述了EM的收敛性,仍然没有定量地给出,还有一般化EM的推导过程仍然没有给出。下一篇着重介绍这些内容。

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