混合图欧拉路(判断)
问题：对于一个混合图，即有有向边又有无向边的图，判断是否存在一条欧拉回路。解法（转）：混合图欧拉回路用的是网络流。把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。当初由于不小心，在这里错了好几次）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
ZOJ@1992
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2391682 2011-01-24 10:49:56 Accepted 1992 C++ 90 508 redsea
#include < stdio.h >
#include < math.h >
#include < algorithm >
#include < string .h >
using namespace std;
#define N 205
#define MAXN N
#define inf 100000000
int map[N][N];
int flow[N][N];
int max_flow( int n, int mat[][MAXN], int source, int sink, int flow[][MAXN]){
int pre[MAXN],que[MAXN],d[MAXN],p,q,t,i,j;
if (source == sink) return inf;
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
for (j = 0 ;j < n;flow[i][j ++ ] = 0 );
for (;;){
for (i = 0 ;i < n;pre[i ++ ] = 0 );
pre[t = source] = source + 1 ,d[t] = inf;
for (p = q = 0 ;p <= q &&! pre[sink];t = que[p ++ ])
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
if ( ! pre[i] && (j = mat[t][i] - flow[t][i]))
pre[que[q ++ ] = i] = t + 1 ,d[i] = d[t] < j ? d[t]:j;
else if ( ! pre[i] && (j = flow[i][t]))
pre[que[q ++ ] = i] =- t - 1 ,d[i] = d[t] < j ? d[t]:j;
if ( ! pre[sink]) break ;
for (i = sink;i != source;)
if (pre[i] > 0 )
flow[pre[i] - 1 ][i] += d[sink],i = pre[i] - 1 ;
else
flow[i][ - pre[i] - 1 ] -= d[sink],i =- pre[i] - 1 ;
}
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
if (mat[source][i] > flow[source][i])
return 0 ;
return 1 ;
}
int main()
{
int T, degin[N],degout[N], n, m, x, y, z;
int flag;
scanf( " %d " , & T);
while (T -- ){
scanf( " %d%d " , & n, & m);
memset(degin, 0 , sizeof (degin));
memset(degout, 0 , sizeof (degout));
memset(map, 0 , sizeof (map));
for ( int i = 0 ; i < m; i ++ ){
scanf( " %d%d%d " , & x, & y, & z);
degout[x] ++ ;
degin[y] ++ ;
if ( ! z)map[x][y] ++ ;
}
flag = 0 ;
for ( int i = 1 ; i <= n && ! flag; i ++ ){
if ((degin[i] + degout[i]) % 2 )flag = 1 ;
if (degin[i] > degout[i])
map[i][n + 1 ] = (degin[i] - degout[i]) / 2 ;
else
map[ 0 ][i] = (degout[i] - degin[i]) / 2 ;
}
if (flag)
printf( " impossible\n " );
else {
if (max_flow(n + 2 ,map, 0 ,n + 1 ,flow))
printf( " possible\n " );
else
printf( " impossible\n " );
}
}
return 0 ;
}
#include < stdio.h >
#include < math.h >
#include < algorithm >
#include < string .h >
using namespace std;
#define N 205
#define MAXN N
#define inf 100000000
int map[N][N];
int flow[N][N];
int max_flow( int n, int mat[][MAXN], int source, int sink, int flow[][MAXN]){
int pre[MAXN],que[MAXN],d[MAXN],p,q,t,i,j;
if (source == sink) return inf;
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
for (j = 0 ;j < n;flow[i][j ++ ] = 0 );
for (;;){
for (i = 0 ;i < n;pre[i ++ ] = 0 );
pre[t = source] = source + 1 ,d[t] = inf;
for (p = q = 0 ;p <= q &&! pre[sink];t = que[p ++ ])
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
if ( ! pre[i] && (j = mat[t][i] - flow[t][i]))
pre[que[q ++ ] = i] = t + 1 ,d[i] = d[t] < j ? d[t]:j;
else if ( ! pre[i] && (j = flow[i][t]))
pre[que[q ++ ] = i] =- t - 1 ,d[i] = d[t] < j ? d[t]:j;
if ( ! pre[sink]) break ;
for (i = sink;i != source;)
if (pre[i] > 0 )
flow[pre[i] - 1 ][i] += d[sink],i = pre[i] - 1 ;
else
flow[i][ - pre[i] - 1 ] -= d[sink],i =- pre[i] - 1 ;
}
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
if (mat[source][i] > flow[source][i])
return 0 ;
return 1 ;
}
int main()
{
int T, degin[N],degout[N], n, m, x, y, z;
int flag;
scanf( " %d " , & T);
while (T -- ){
scanf( " %d%d " , & n, & m);
memset(degin, 0 , sizeof (degin));
memset(degout, 0 , sizeof (degout));
memset(map, 0 , sizeof (map));
for ( int i = 0 ; i < m; i ++ ){
scanf( " %d%d%d " , & x, & y, & z);
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}
flag = 0 ;
for ( int i = 1 ; i <= n && ! flag; i ++ ){
if ((degin[i] + degout[i]) % 2 )flag = 1 ;
if (degin[i] > degout[i])
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printf( " impossible\n " );
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printf( " possible\n " );
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printf( " impossible\n " );
}
}
return 0 ;
}