系统学习机器学习之决策树
- 什么是决策树
- 单变量树
- 单变量分类树
- 剪枝
- 由决策树提取规则
一、什么是决策树
决策树（decision tree）是一种用于监督学习 的层次模型，通过这种特殊的层次模型，局部区域可以通过少数几步递归分裂确定。决策树由一些内部决策节点和终端树叶组成。所谓决策节点，即运行某个判断/测试函数，来确定数据是否符合条件，从而进行选择分支地输出。树叶节点一般用来存放最终不可再分的数据集合，一个决策节点可以分支出一个树叶节点，也可以分支出一个新的决策节点，从而继续递归分裂。一个简单的决策树模型如下：
其中C1、C2、C3表示数据集，也可以说是我们的分类，而菱形流程表示测试\判断函数。每个测试函数的输入可以是一个d-维向量。如果我们考虑的是一个数值数据，那么分支一般是两分的，比如这里使用X1 > W10 对数据进行两分，一般最好的情况下每次都可以讲数据集二分，因此如果存在b个区域\类别，那么最好的情况可以通过对b求以2为底的对数次找到正确的区域，即LOG2(b)。
二、单变量树
对于一个决策树来说，如果输入测试节点的数据是单维的，即只有一个变量，那么称为单变量树。如果使用的输入维是离散的，取n个可能值之一，那么就对应一个n路划分；如果是一个连续值，则对应一个两分（binary split）。需要注意，每次测试节点进行的划分都是两两正交的，即每次划分都是独立、不存在重复关联。
树归纳是指构造给定训练样本的树，一般对于给定的训练集，我们可以找到多个使用的决策树，为了简单考虑，我们一般最感兴趣地是寻找其中最小的树，树的大小用树的节点和决策节点数来衡量。但是寻找最小数是NP完全问题，所以我们只能使用基于启发式的局部搜索过程，在合理的时间内得到合理的树。
树学习算法根本上是贪心算法，从包含全部训练数据的根节点开始，每一步都选择最佳划分。依赖于所选取的属性是离散还是连续的，每次都可以将训练数据划分成n个或两个子集，然后对相应子集进行递归决策、划分，直到不再需要划分，此时就创建一个树叶节点并标记。
三、单变量分类树
对于单变量分类树来说，划分的优劣判断标准是不纯性度量（impurity measure） ，我们说一个划分是纯的，是说如果对于所有分支，划分后选择相同分支的所有实例都属于相同的类。这里的意思说白了就是每个树叶节点应当表示一个单纯类的实例。
四、剪枝
一般如果到达一个节点的训练实例树小于训练集的某个比例，比如5%，无论是否不纯或是否有错误，该节点都不再进一步分裂。因为 基于过少实例的决策树会导致方差太大，从而导致泛化误差较大。这种在树完全构造出来之前提前停止树构造的方法称作树的先剪枝（prepruning）。
另一个得到较小树的方法是后剪枝（postpruning） ，实践中比先剪枝要好些。我们让树完全增站直到所有的树叶都是纯的并具有零训练误差。然后我们找出导致过分拟合的子树并剪掉它们。方法是我们最初从数据集中暴力一个剪枝集，训练阶段不使用。我们用一个被子树覆盖的训练实例标记的树叶节点替换该子树，如果该树叶在剪枝集上的性能不比该子树差，则剪掉该子树并保留树叶节点。
一般来说，先剪枝速度快，但是后剪枝更加准确。
五、由决策树提取规则
决策树可以提取特征，我们要做的是将每条路径描述出来就可以了。我们可以方便地将树的路径转换成IF-THEN规则。 比如对于下图的一个关于员工信息对应工作效率的实例：
这样我们可以描述每个分支，这里我们仅举个简单的例子：
R1: IF(age > 38.5) AND (years-in-job > 2.5) THEN y=0.8
可以看到，上面的IF-THEN规则描述了最左侧的分支情况。这样的规则库可以提取知识。容易理解，并且使得领域专家可以通过验证从数据学习得到的模型。
多变量树的情况可以由单变量树对输入维度扩展得到。自从凯撒将一个复杂的“高卢人问题”分解成一组较简单的问题以来，分治 一直作为一种启发式方法频繁使用。决策树更多地用在监督式学习的分类问题，并且通常在使用复杂算法以前，可以先试验决策树，并将它的准确率作为性能基准。
Refer： 《机器学习导论》，Ethen Alpaydin（土耳其），机械工业出版社
以下，引自：
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/23/2605208.html
一、简介
决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 数据挖掘中决策树是一种经常要用到的技术，可以用于分析数据，同样也可以用来作预测（就像上面的银行官员用他来预测贷款风险）。
从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。
一个决策树包含三种类型的节点： 1.决策节点——通常用矩形框来表式 2.机会节点——通常用圆圈来表式 3.终结点——通常用三角形来表示
决策树学习也是资料探勘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，它由它的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。 当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。
二、决策树算法
1.ID3算法
ID3算法是一个由Ross Quinlan发明的用于决策树的算法。这个算法便是建立在上述所介绍的奥卡姆剃刀的基础上：越是小型的决策树越优于大的决策树（be simple简单理论）。尽管如此，该算法也不是总是生成最小的树形结构，而是一个启发式算法。
汤姆.米歇尔《机器学习》中对ID3算法的描述：
ID3算法思想描述：（个人总结 仅供参考）
a.对当前例子集合，计算属性的信息增益；
b.选择信息增益最大的属性Ai(关于信息增益后面会有详细叙述)
c.把在Ai处取值相同的例子归于同于子集，Ai取几个值就得几个子集
d.对依次对每种取值情况下的子集,递归调用建树算法，即返回a，
e.若子集只含有单个属性，则分支为叶子节点，判断其属性值并标上相应的符号，然后返回调用处。
2.最佳分类属性
判断测试哪个属性为最佳的分类属性是ID3算法的核心问题，那么这里就要介绍两个比较重要的概念：信息增益的度量标准：熵和信息增益Gain(S,A)
以下为《机器学习》和援引处的内容 有修改
1）信息增益的度量标准：熵
为了精确地定义信息增益，我们先定义信息论中广泛使用的一个度量标准，称为熵（entropy），它刻画了任意样例集的纯度（purity）。给定包含关于某个目标概念的正反样例的样例集S，那么S相对这个布尔型分类的熵为：
上述公式中，p+代表正样例，比如在本文开头第二个例子中p+则意味着去打羽毛球，而p-则代表反样例，不去打球(在有关熵的所有计算中我们定义0log0为0)。
相关代码实现：（代码有些晦涩难懂，如欲详加了解 请看：http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/7322015 里面有ID3完整的代码）
//根据具体属性和值来计算熵 double ComputeEntropy(vector <vector <string> > remain_state, string attribute, string value,bool ifparent){ vector<int> count (2,0); unsigned int i,j; bool done_flag = false;//哨兵值 for(j = 1; j < MAXLEN; j++){ if(done_flag) break; if(!attribute_row[j].compare(attribute)){ for(i = 1; i < remain_state.size(); i++){ if((!ifparent&&!remain_state[i][j].compare(value)) || ifparent){//ifparent记录是否算父节点 if(!remain_state[i][MAXLEN - 1].compare(yes)){ count[0]++; } else count[1]++; } } done_flag = true; } } if(count[0] == 0 || count[1] == 0 ) return 0;//全部是正实例或者负实例 //具体计算熵 根据[+count[0],-count[1]],log2为底通过换底公式换成自然数底数 double sum = count[0] + count[1]; double entropy = -count[0]/sum*log(count[0]/sum)/log(2.0) - count[1]/sum*log(count[1]/sum)/log(2.0); return entropy; }
举例来说，假设S是一个关于布尔概念的有14个样例的集合，它包括9个正例和5个反例（我们采用记号[9+，5-]来概括这样的数据样例），那么S相对于这个布尔样例的熵为：
Entropy（[9+，5-]）=-（9/14）log2（9/14）-（5/14）log2（5/14）=0.940。
通过以上的计算，相对于目标，Humidity比Wind有更大的信息增益
下图仍摘取自《机器学习》 是ID3第一步后形成的部分决策树 其中经比较OutLook的信息增益最大 选作root
上图中分支Overcast的所有样例都是正例，所以成为目标分类为Yes的叶结点。另两个结点将被进一步展开，方法是按照新的样例子集选取信息增益最高的属性。
以上完整代码参见http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/7322015
3.另一种决策树算法C4.5
这里仅作简单介绍
1）概览：
由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。
C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进：
- 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足；有关信息增益率的定义可以参考栾丽华和吉根林的论文《决策树分类技术研究》1.2节。
- 在树构造过程中进行剪枝；
- 能够完成对连续属性的离散化处理；
- 能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。
2)主要步骤：
a. 读取文件信息，统计数目
b. 建立决策树
-
- 如果样本集为空，则生成一个信息数目都为0的树节点返回
- 如果样本均为同一类别，则生成一个叶子节点返回
- 计算节点正负样本的数目
- 如果属性值只有那个类别的属性，则生成一个叶子节点，并赋值类型索引
- 如果以上都不是，则选择一个增益率最大的属性（连续属性要用增益率离散化），按那个属性的取值情况从新定义样本集和属性集，建造相关子树
c. 事后剪枝（采用悲观错误率估算）
d. 输出决策树
e. 移除决策时
主要重点有：信息增益率的计算、事后剪枝使用悲观错误率衡量、树的建造（分治思想）
信息增益率的计算相关公式：
悲观错误剪枝PEP算法：（以下知识简单引导一下 如需详加了解 请阅览相关剪枝算法的书籍 ，笔者没有对此作深入的研究，so不做细讲）
- 假设训练数据集生成原始树为T，某一叶子结点的实例个数为nt(t为右下标，以下同)，其中错误分类的个数为et；
- 我们定义训练数据集的误差率如下公式所示：
- 为此，Quinlan在误差估计度量中增加了连续性校正，将误差率的公式修改为如下公式所示
- 那么，同样的，我们假设s为树T的子树的其中一个子节点，则该子树的叶子结点的个数为ls ，Tt的分类误差率如下公式所示:
在定量的分析中，为简单起见，我们用误差总数取代上面误差率的表示，即有公式:
那么，对于子树Tt，它的分类误差总数如下公式所示：
