康托展开 用于求一个排列的序号或序号对应的排列或对排列的hash

以下参考http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6275460

 

康托展开：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

其中ai表示比第i个数小的数字的个数（并且在前面没有出现过）

 

康托展开中排列中的数字没有重复的

应用实例：

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

 

int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]
/*  康托展开.
    {1...n}的全排列由小到大有序，s[]为第几个数  */
int KT(int n, int s[])
{
    int i, j, t, sum;
    sum = 0;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = 0;
        for (j=i+1; j<n; j++)
            if (s[j] < s[i])
                t++;
        sum += t*fac[n-i-1];
    }
    return sum+1;
}

 

康托展开的逆运算：

 

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

/*  康托展开的逆运算.
    {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */
void invKT(int n, int k, int s[])
{
    int i, j, t, vst[8]={0};
    k--;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = k/fac[n-i-1];
        for (j=1; j<=n; j++)
            if (!vst[j])
            {
                if (t == 0) break;
                t--;
            }
        s[i] = j;
        vst[j] = 1;
        k %= fac[n-i-1];
    }
}