这道题校赛时没人过，现在拿出来折腾了一番，着实经典，在此膜拜一下罗德安。

Problem J. Smallbox魔方

Description

n阶魔方是一个n×n×n的立方体，有6个面，每个面又分为n×n个小块，每个小块都可以涂上不同的颜色，如右边的图中分别是3阶和2阶魔方。

高阶魔方同时兼备了收藏，鉴赏及实用价值，而高阶的魔方内部构造极为复杂，设计困难。针对这个问题，smallbox公司推出了专门用于观赏的魔方，这种魔方不能拧动，为了能使魔方能展现不同的图案，smallbox魔方配有6种不同颜色的贴纸，用户可以根据自己的喜好在每个小色块上贴上不同的颜色，纸一旦贴上就不能更改了，当然你仍然可以把整个魔方拿起来再换一个角度来摆放。

一个smallbox魔方配有六种不同颜色的贴纸，共6×n×n张。每种颜色的贴纸数量已知。现在由你来把这些贴纸贴到这个魔方上，使魔方表面的每个小色块都恰好被贴上一张贴纸，那么你有多少种不同的贴纸方案呢？

如果一种贴纸方案能通过变换摆放方式得到另一种方案，那么这两种方案算同一种。

Input

第一行一个正整数T，表示测试数据的组数。每组数据有两行，第一行一个数n，1 ≤ n ≤ 50，表示这个smallbox魔方是n阶的。第二行6个数a₁,a₂.a₃,a₄,a₅,a₆，表示每种颜色的贴纸数量，0 ≤ a_i ≤ 6×n×n，这六个数的总和等于6×n×n。

Output

对应每组输入数据，输出一行，包含一个数，即贴纸方案总数，这个数很大，你只需要输出它除以1000,000,007的余数。

Sample Input

5 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

1 23 0 0 0 0

1 1 22 0 0 0

1 53 0 0 0 0

Sample output

正方体的空间24个置换如下：
1 . 绕中心轴转动(共3*2个) （n分偶,奇讨论）
转动270度，90度两种情况

若为偶数有长度为4的循环节。
若为奇数有长度为4的循环节和两个长度为1的循环节。

转动180度

若 n为偶数每个循环节长度为2
若 n为奇数两个长度为1的循环节，其他长度为2

2 . 绕某个中心轴转360度（虽然有3个轴但是是同一个置换，公1个）
每个循环节长度为1

3 . 绕连接对边的中心的轴转动180度（共6个）
循环节长度为 2 (通过在魔方上标号，转动揣摩出来的)

4 .绕体对角线轴转动120度,240度（共4*2个）
循环节长度为 3

所以总共有 1 + 3 * 3 + 6 * 1 + 4 * 2 = 24 个置换。

奇偶共有：
4 * 2个置换 * 循环节长度为3 + 6 个置换 * 循环节长度为2 + 1个置换 * 循环节长度为1

奇数还有:
( 3 * 2 )个置换 * (两个长度为1的循环节其他长度为4） + 3个置换 * （两个长度为1的循环节其他长度为4）
偶数还有:
( 3 * 2 )个置换 * (循环节长度为4) + 3个置换 * （循环节长度为2）

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4
  5 using namespace std;
  6
  7 typedef long long LL;
  8
  9 const int max_n=15000+5;
10 const int MOD=1000000007;
11
12 LL fac[max_n],inv[max_n],facv[max_n];     //fac[n]=n!%MOD (facv[n]*fac[n])=1;    (inv[n]*n)%MOD=1
13
14 LL mypow(LL a, int b){
15     LL res=1;
16      for (;b;b>>=1){
17          if (b&1)    res=(res*a)%MOD;
18         a*=a;    a%=MOD;
19     }
20      return res;
21 }
22 LL cal_inv( int t){
23      return mypow((LL)t,MOD-2);
24 }
25
26 void ini(){
27     fac[0]=1;    facv[0]=1;
28      for ( int i=1;i<max_n;i++){
29         inv[i]=cal_inv(i);
30         facv[i]=(facv[i-1]*inv[i])%MOD;
31         fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD;
32     }
33 }
34
35 int col[6],N;
36
37 int gcd( int a, int b){
38      if (b==0)     return a;
39      return gcd(b,a%b);
40 }
41
42 LL solve( int t){
43      int b[6],tot=0;
44      for ( int i=0;i<6;i++){
45         b[i]=col[i]/t;
46         tot+=b[i];
47     }
48     LL res=1;
49     res=(res*fac[tot])%MOD;
50      for ( int i=0;i<6;i++){
51         res=(res*facv[b[i]])%MOD;
52     }
53      return res;
54 }
55 int main()
56 {
57      int T;
58     ini();
59     scanf("%d",&T);
60
61      for ( int ncas=1;ncas<=T;ncas++){
62
63         scanf("%d",&N);
64          int e=0;
65          for ( int i=0;i<6;i++){
66             scanf("%d",&col[i]);
67             e=gcd(e,col[i]);
68         }
69
70         LL ans=0;
71         ans = (ans+solve(1))%MOD;
72          if (e%2==0){
73             ans = (ans+6*solve(2) )%MOD;
74         }
75          if (e%3==0){
76             ans = (ans+8*solve(3) )%MOD;
77         }
78
79          if (N&1){     //N为奇数
80              for ( int i=0;i<6;i++){
81                  for ( int j=0;j<6;j++){
82                      if ((i==j&&col[i]>=2)||(i!=j&&col[i]&&col[j])){
83                         col[i]--;    col[j]--;
84                          int t=0;
85                          for ( int k=0;k<6;k++){
86                             t=gcd(t,col[k]);
87                         }
88                          if (t%2==0){
89                             ans=(ans+3*solve(2))%MOD;
90                         }
91                          if (t%4==0){
92                             ans = (ans+6*solve(4))%MOD;
93                         }
94                         col[i]++;    col[j]++;
95                     }
96                 }
97             }
98         } else {
99              if (e%2==0){
100                 ans = (ans+3*solve(2))%MOD;
101             }
102              if (e%4==0){
103                 ans = ( ans+6*solve(4) )%MOD;
104             }
105         }
106         ans=(ans*inv[24])%MOD;
107         printf("%lld\n",ans,N);
108     }
109      return 0;
110 }
111

CSU校赛J题(Burnside)