组合数学小结

组合数学小结

主要分成以下几个部分：
　　排列组合与容斥原理
　　二项式定理
　　递推关系与生成函数
　　polya定理

1.排列组合与容斥原理
排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理
前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
基本的排列组合之后，接下来引出了多重集。多重集的排列组合是一个很经典的问题，总结如下：
多重集的排列：
　　全排列的话只需应用除法原理就可以了。n个元素的多重集的r排列需要利用指数生成函数来做。
多重集的组合：
　　n个元素的多重集的r组合，如果r小于等于任何一个元素可选的个数，那么就归结为经典的不定方程的解数问题，可以利用“隔板法”来做。结果就是一个组合数。如果r大于某些元素的可选个数，那么一种方法是利用容斥原理，一种方法还是要依靠生成函数（编程序的时候可以用动归做）。
如果是一个环形的排列组合，那么问题就困难许多，要利用置换群和polya定理。
　　单纯的依靠四项基本原理来计数，有的时候会显得力不从心，这个时候就需要容斥原理的帮助。容斥原理特别适合解决若干限制条件的交、并问题，也是打开思路的一种方法。
　　利用容斥原理解决的经典问题有：错排问题，带禁止位置的排列。禁位排列总觉得用容斥原理解决的不够优美，不知道有没有可以编程的数学方法。还有一个困惑的问题就是容斥原理和mobius反演的关系，那个地方好晦涩。。
　　跟排列组合相关的还有就是生成排列和组合。生成排列利用那个什么字典序法好像足够了，编程好实现。生成组合方法类似。

2.二项式定理
有很多公式，用的时候可以现查。终于知道了三角形数原来跟排列组合有关，而且是一个很简洁的公式。
很多公式的推导用的思想很妙。有一个很好的思想就是把(1 + x) ^ n利用二项式定理展开，然后求导、求积分，居然可以导出很多不可思议的公式。
还有一个很重要的定理就是pascal定理，pascal递推式很有用（展开后有两种形式，一种是上下限均不定，一种是下限不定），可以解决很多组合数的求和问题。
另外一个重要的定理就是牛顿二项式定理，在生成函数中应用广泛，可就是推导起来有点繁。

3.递推关系和生成函数
　　求解线性递推关系的特征方程的方法还是有一定价值的，但是编程不适用。n解线性齐次递推方程有矩阵解法。稍微复杂点的递推关系（非线性），特征方程就不够用了，必须祭出生成函数这个有力的武器。感觉生成函数实在是太优美、太强大了。生成函数的关键就是要把多项式拆分成(1-rx)^n这种形式，这样就可以利用牛顿二项式定理展开了。
　　在特殊计数序列里面提到了盒装球问题。将p个不同的球放入k个相同的盒子（每个盒子非空）的方法数是第二类Stirling数S(p, k)；将p个相同的球放入k个相同的盒子（每个盒子非空）的方法数是分拆数，可以归结为整数划分问题，用动态规划求解；将p个不同的盒子放入不同的k个盒子并且每个非空的方法数为k! * S(p, k)。
　　有几个很经典的递推关系：斐波那契数列、Catalan数（几种经典的形式：三角剖分数、二叉生成树个数、+1-1序列、加括号序列等等）、Stirling数（两种，第二种比较常用）、汉诺塔、n个圆切割平面数、n条直线k个交点切割平面数等等。此外，格路径中提到的平移、反射和一一对应这三种分析问题的方法也很值得借鉴。

4.polya定理

比较复杂，过一阵子好好总结下。