树状数组总结

Poj上的一些题：

1)poj1195 Mobile phones 难度：1

题意：给定n*n矩阵，和几种在线操作，包括对某一点(x,y)值修改，查询一个矩形(x1,y1,x2,y2)的元素和。

分析：用二维树状数组维护即可。

2)poj2299 Ultra-QuickSort 难度：1

题意：给你n个不同的数，求逆序对个数。

分析：有两种方法：归并排序；树状数组。

这里提一下树状数组的方法。倒着处理，每次统计比当前元素值小的已经处理完的元素的个数，所有的累加起来就是答案。

3) poj2352 star  难度：2

题意：按y递增的顺序给出n颗星星的坐标(y相等则x递增)，每个星星的等级，等于在它左边且在它下边（包括水平和垂直方向）的星星的数量，求出等级为0到n-1的星星分别有多少个。

分析：由于星星的坐标是按y的递增给出的，那么就只需考虑水平方向就好了，如果给出一个星星的坐标为(a,b)，那么它的等级就等于前面已经输入的x坐标在[0,a]区间的星星数量。

4)poj3067 Japan  难度：2

题意：顺序给两组平行的点依次编号1~N和1~M，给定K个线段在两组点之间，求相交(cross)的线段对有多少个，同一个起点或终点不算相交。

分析：设1~n这组点属于A组，1~m属于B组。用树状数组记录当前每个B中的点与多少个已处理完的A中的点相连，按n~1的顺序处理，即倒着做。例如当前处理的A中的为x，与x相关的B中的点有：a，b，c；则将当前B中1~a-1所有点的值的和（每个点的值即为该点与多少个已处理完的A中的点相连）加入答案，为什么呢？当前B中1~a-1所有点的值都是A中大于x的点贡献的；同理，将1~b-1所有点的值的和加入答案，将1~c-1所有点的值的和加入答案。

5)poj2155 matrix  难度：3

题意：一个n*n的01矩阵，和几种动态操作，包括对子矩阵(x1,y1,x2,y2)的所有元素异或，查询某一点(x,y)的元素值。

分析：仅需修改矩阵四个顶点的值，这四个点是：

(x1,y1)、(x1,y2)、(x2,y1)、(x2,y2)。

对于询问（x，y），用树状数组统计（x，y）右下方的元素和mod 2即为答案。

但对于修改的矩阵出现x1=x2或y1=y2时会出现西西，我是这么避免出错的：

将矩阵每个元素拆成四个点（行数*2，列数*2），修改矩阵(x1,y1,x2,y2)则对这四个修改：

(x1*2-1,y1*2-1)、(x1*2-1,y2*2)、 (x2*2-1,y1*2-1)、(x2*2-1,y2*2)。

6)poj3321 apple tree 难度：2

题意：一棵具有n个节点的树，一开始，每个节点上都有一个苹果。现在给出m组动态的操作：(C,i)是摘掉第i个节点上面的苹果(若苹果不存在，则为加上一个苹果)，(Q,i)是查询以第i个节点为根的子树有几个苹果(包括第i个节点)。

分析：树状数组。这道题重点怎么建立树到树状数组的映射关系：利用dfs遍历树，对每个节点进行两次编号，第一次搜到第i个节点时的时间戳，为这个节点管辖区间的下限L[i]，然后搜这个节点的子节点，最后搜回来后的时间戳，为这个节点管辖区间的上限R[i] (也为这个节点的下标)，如下图所示。接下来就是树状数组部分了。

 

7)POJ 2481 Cows 难度：3

题意：每个奶牛都有一个吃草的范围,对应一段线段 [s, e], 如果某一头a的区间覆盖了另一头b 的区间，就说a 比b 强，求比每头奶牛强的奶牛数。

分析：此题类似于线段覆盖cover那题，此处不讲解，可以参考cover那题的解题报告。

（这题交了n遍，原来poj卡Qsort！！要用随机Qsort）

8)POJ 2029 Get ManyPersimmon Trees 难度：1

题意：给定N*M的矩形和T个点，让你求A*B的子矩形最多能覆盖几个点。

分析：枚举矩阵的右上端点，用树状数组统计该矩阵内点的个数。

9)POJ 1990 MooFest 难度：3

题意：有n头牛，不同的听力值v，当i,j想要通话时，需要max(v(i),v(j))*|dist[i]-dist[j]|的volume，问这n*(n-1)/2对牛总共的volume是多少。

分析：处理两个东西：max和abs。对于max可以Qsort解决：v大的先处理，处理完就删掉。对于abs，可以拆成两部分处理，设当前的牛为i，对于未处理的牛j，

若dist[j]<dist[i]（设这种牛有t1个）则

abs（dist[i]-dist[j]）=dist[i]-dist[j],

否则（设这种牛有t2个）

abs（dist[i]-dist[j]）=dist[j]-dist[i]。

故所有j与i的volume值总和为：t1*dist[i]-sigma(dist[j])+sigma(dist[j])-t2*dist[i].

t1与t2可以用树状数组统计，sigma(dist[j])与sigma(dist[j])也可用树状数组统计。

 

平时考试的一些题：

10)修路（10月15日ldl大牛出的一道题）难度：3

题意：有n个城市和n-1条道路，呈树状分布，其中省会为1号（根）节点。这n-1条路原先是羊肠小道，后来逐渐变为水泥大道，这期间省长小L有多次出访其他n-1个城市。给你m个操作，操作分为两种类型：修建城市x和y之间的道路、询问小L访问城市x时经过了多少条羊肠小道。（初始时所有道路都为羊肠小道）

分析：类似于上一题apple tree，也是利用了映射转化的思想。先对这棵树dfs，求的开始经过每个节点i的时间戳L[i]和最终离开每个节点i的时间戳R[i]，将L[i]和r[i]加入到树状数组中，并将l[i]对应的值赋为1，表示i与i的父亲间有一条小道；将r[i]对应的值赋为-1。因此，对于以i为根的子树中的节点统计羊肠小道时能够统计到节点i与i的父亲间的小道，儿对于不是以i为根的节点统计不到i与i的父亲间的小道（因为离开i时又减去了1）。修i与其父亲间的小路时，只需将L[i]的值减1，R[i]的值加1即可（因为要使不是以i为根的节点不受影响）。注意每次统计的答案要减去1，因为树的根节点没有父亲，也就不存在根节点与其父亲间的小路！

11)线段覆盖cover（某日数据结构小考的题目）难度：3

题意：给你n条线段（左端点为l[i]，右端点为r[i]），哪条线段覆盖了最多的线段，输出这个最大值。

分析：按左端点递减的顺序处理，先统计右端点小于当前处理线段的右端点的已处理线段数量，统计的结果即为当前线段覆盖的线段的数量，然后将当前线段的右端点加入树状数组中。由于端点值较大，需要离散化。

12)9月24日xqz的模拟题中有一道叫tree的题，

实际上来自Hdu 3015Disharmony Trees（xqz copy的！）

此题同poj1990.

 

hoj上的一些题（现已找不到hoj这些题了）：

13)Hoj1867 经理的烦恼 难度：0

一维树状数组+判素数，此处不详细讲。

14)Hoj2430  Counting the algorithms 难度：2

题意：给出2*N的序列，每个数∈[1,N]出现2次  2个数之间的间隔为得分，求得一个得分后会删除这两个数，问最大得分。

分析：贪心+树状数组。从后往前删除数，用树状数组求得sum(x)个数，对于嵌套的、相互独立的，先删除谁都没关系但对于包含关系的，必须先删除外围的，所以从后开始（从前开始也一样）。

15)hoj2275  Number sequence 难度：2

题意：计算序列 a[] 中， 当 i < j < k, a[i] < a[j] >a[k], 这样的子序列个数。

分析：对于每个元素j，用树状数组统计i的个数s1[i]，使i满足以下条件：I<j;a[i]<a[j].统计k的个数s2[i]，使k满足以下条件：k>j,a[k]<a[j].答案即为sigma(s1[i]*s2[i]),(1<=i<=n).

 

其他网站：

16)Sgu 180 Inversions：求逆序对（同poj2299）

17)SPOJ 1029 Matrix Summation：基本二维树状数组，

同poj1195

 18)tju3243 Blocked Road 难度：2

题意：1-N个村庄，1-N条路，注意1到N有一条回路，然后不断进行操作，修复或破坏他们之间的路，然后查询是否有路从A到B

分析：用树状数组记录每条路是否完好，完好则记为1，否则记为0，判断x与y是否连通，只需判断sum(y-1)-sum(x-1)是否等于y-x；还可以反向走，判断sum(n)-sum(y-1)+sum(x-1)是否等于n-y+x即可。

19)SPOJ227 Ordering the Soldiers 难度：4（好题）

题意：有n个点，标号1到n，给定数组b[i]表示i前面比a[i]小的点的个数,求a[]数组。

分析： 我们可以先想想朴素的做法，比如b[] = {0, 1, 2, 0, 1}，我们用数组c[i]表示还存在的小于等于i的个数，一开始c[] = {1, 2, 3, 4, 5}，下标从1开始。

我们从右向左扫描b[]数组，b[5] = 1，说明该点的数是剩下的数中第2大的，也就是小于等于它的有2个，即我们要找最小的j符合c[j] = 2(这里可以想想为什么是最小的，不是最大的，挺好理解的)，而c[]是有序的，所以可以用二分来找j，复杂度为O(logn)，但现在问题是每次更新c[]要O(n)的复杂度，这里我们就想到树状数组，c[i]表示还存在的小于等于i的个数，这不正好是树状数组的看家本领吗～～

所以处理每个位置的复杂度为O(logn * logn)，总的复杂度为O(n * logn * logn)。

20)hdu 2852KiKi's K-Number 难度：3

有三种操作：插入元素x，删除元素x，询问比x大的数中第k大的。

这题与上面那题类似，只是要求比a大的第k大的数，那我们用Getsum(a)求出小于等于a的个数，那么就是要我们求第k + Getsum(a)大的数，而删除操作只要判断Getsum(a) – Getsum(a - 1)是否为0，为0则说明a不存在。

 

参考资料：

某俩牛人空间：

http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html

http://hi.baidu.com/evilsham/blog/item/8540236da505c73eab184c92.html

及“依然”等大牛博客。