Miller_Rabin素数测试[Fermat小定理][二次探测定理][同余式][Wilson定理]

部分引用自:

http://blog.csdn.net/fisher_jiang/article/details/986654

很大部分引用自:

http://www.matrix67.com/blog/archives/234

从零开始~

同余式

同余式的定义

如果两个正整数a和b之差能被n整除,我们就说a和b对模n同余,记作 a ≡ b (mod n)

同余式的运算

+ - * 均可, / 的时候注意:

1. 若c与n互质,则有 a / c ≡ b / c ( mod n )
   简单解释: 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。
   证明：条件告诉我们，ac-mp = bc-mq，移项可得ac-bc = mp-mq，也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明，(a-b)c里需要含有因子m，但c和m互质，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。 ^[matrix67]
2. 若a / c ≡ b / c ( mod n ) , 则不一定有c与n互质.
   反例: 4 ≡ 64 (mod 10)   两边同除以c = 2 (n = 10)
   2 ≡ 32 (mod 10)

Wilson定理

当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ).

简要来说就是{ 2..p-2 }之间的数可以两两配对,乘积与1模p同余.

因此这些连乘的部分都可以换成1,只剩下了 1* ( p-1 ).由最后一式,得证.

[但是为什么可以两两配对, 目前还没看懂, 以后看懂了补上吧]

Wilson定理有很高的理论价值.但实际用于素数测试所需要计算量太大,无法实现对较大素数的测试.到目前为止,尚未找到素数测试的有效的确定性算法.

Fermat小定理

著名的费马小定理为素数判定提供了一个有力的工具.

费马小定理:如果p是一个素数,且(0<a<p),则

证明是容易的.

Euler定理

Euler对这个定理进行了推广，叫做Euler定理，有些地方叫做Fermat小定理的Euler推广。Euler定理中需要用一个函数f(m)，它表示小于m的正整数中有多少个数和m互素（两个数只有公约数1称为互素）。为了方便，我们通常用记号φ(m)来表示这个函数（称作Euler函数）。

Euler指出，如果a和m互素，那么

可以看到，当m为素数时，φ(m)就等于m-1（所有小于m的正整数都与m互素），因此它是Fermat小定理的推广。定理的证明和Fermat小定理几乎相同，只是要考虑的式子变成了所有与m互素的数的乘积：

Fermat素数测试

1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例：虽然2的340次方除以341余1，但341=11*31。后来，人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立。人们把所有能整除2^(n-1)-1的合数n叫做伪素数(pseudoprime)。

不满足的n一定不是素数；如果满足的话则多半是素数。这样，一个比试除法效率更高的素性判断方法出现了：制作一张伪素数表，记录某个范围内的所有伪素数，那么所有满足且不在伪素数表中的n就是素数。之所以这种方法更快，是因为我们可以使用二分法快速计算的值(快速幂)。

然而不借助伪素数表的时候,算法出错的概率太高,需要改进.

我们刚才只考虑了a=2的情况。一个合数可能在a=2时通过了测试，但a=3时的计算结果却排除了素数的可能。于是，人们扩展了伪素数的定义，称满足a^(n-1) mod n = 1的合数n叫做以a为底的伪素数(pseudoprime to base a)。

随机选择若干个小于待测数的正整数作为底数a进行若干次测试，只要有一次没有通过测试就立即把这个数扔回合数的世界。这就是Fermat素性测试。

费马小定理毕竟只是素数判定的一个必要条件.满足费马小定理条件的整数n未必全是素数.有些合数也满足费马小定理的条件***.这些合数被称作Carmichael数,前3个Carmichael数是561,1105,1729. Carmichael数是非常少的.在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数.

***费马小定理的前提是a和n互质。当n本身就是素数的时候如果a<n那么a和n始终互素；但n不是素数时a和n不互素的话不能用费马小定理。也就是说，Carmichael数需要排除a和n不互素的情况.

利用下面的二次探测定理可以对上面的素数判定算法作进一步改进,以避免将Carmichael数当作素数.

Miller_Rabin素数测试算法

二次探测定理优化

 Miller和Rabin两个人的工作让Fermat素性测试迈出了革命性的一步，建立了Miller-Rabin素性测试算法。新的测试基于下面的定理：

如果p是素数，x是小于p的正整数，且，那么要么x=1，要么x=p-1。

这是显然的，因为相当于p能整除，也即p能整除(x+1)(x-1)。

由于p是素数，那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1) 或 x+1能被p整除(此时x=p-1)。

我们下面来演示一下上面的定理如何应用在Fermat素性测试上。前面说过341可以通过以2为底的Fermat测试，因为2^340 mod 341=1。如果341真是素数的话，那么2^170mod 341只可能是1或340；当算得2^170 mod 341确实等于1时，我们可以继续查看2^85除以341的结果。我们发现，2^85 mod 341=32，这一结果摘掉了341头上的素数皇冠

这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2，把n-1表示成（其中d是一个奇数）。那么我们需要计算的东西就变成了除以n的余数。于是，要么等于1，要么等于n-1。如果等于1，定理继续适用于，这样不断开方开下去，直到对于某个i满足或者最后指数中的2用完了得到的。这样，Fermat小定理加强为如下形式：

尽可能提取因子2，把n-1表示成，如果n是一个素数，那么或者，或者存在某个i使得 ( 0<=i<r ) （注意i可以等于0，这就把的情况统一到后面去了）

Miller-Rabin素性测试同样是不确定算法，我们把可以通过以a为底的Miller-Rabin测试的合数称作以a为底的强伪素数(strong pseudoprime)。第一个以2为底的强伪素数为2047。第一个以2和3为底的强伪素数则大到1 373 653。
Miller-Rabin算法的代码也非常简单：计算d和r的值（可以用位运算加速,即快速积,快速幂），然后二分计算的值，最后把它平方r次。

    /*对应hoj 1356 Prime Judge*/
    #include <cstdio>
    #define MT 5
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    int prime[] = {2, 3, 7, 61, 24251};

    inline ll mulmod(ll a, ll b, ll k) {//*标出了核心语句
  /*  //  a %= k;
      //  b %= k;
        if (b < 0) {///将b变为正的
            a = -a;
            b = -b;
        }
        ll re = 0, temp = a;
        ///re为最终结果,temp保持循环.re需要temp的时候,就加一下,否则temp继续累乘
        while (b) {
            if (b & 1) re += temp;///二进制思想,需要即加*
        //  re %= k;
            b >>= 1;///下一位等待检测**
            temp <<= 1;///temp一直累乘***
         // temp %= k;
        }
        return re%k;*/
    /*实际上呢,用以上的函数在hoj 1356是会TLE的(mod太多次了...)~应该用下面的方法...*/
        return (a*b)%k;//-_-b
     }
    //此时不需要再模,于是只剩下核心语句~快速幂和快速积都是二进制思想,核心是一样的
    inline ll powermod(ll a, ll b, ll k) {
        ll re = 1, temp = a;
        while (b) {
            if (b & 1) re = mulmod(re, temp, k);//只是把"加"入答案变为"乘"入答案
            temp = mulmod(temp, temp, k);
            b >>= 1;
        }
        return re;
    }

    int TwiceDetect(ll a, ll b, ll k) {
        int t = 0;
        ll x, y;
        while ((b & 1) == 0) {
            b >>= 1;
            t++;
        }
        /// b = d * 2^t;   b = d;
        y = x = powermod(a, b, k);/// x = y = a^d % n
        ///二次探测定理是反向递归的,当然也可以用如下的正向迭代法去测试
        while (t--) {
            y = mulmod(x, x, k);
            if (y == 1 && x != 1 && x != k - 1)///注意y!=1的时候是不做判断的,即对应
                return 0;///递归时在某一环节x==p-1的情况,对此x开方则无意义,但是迭代的话不能break,只能ignore并继续.
            x = y;///继续向高次迭代,那么至少最后一次应该是等于1的(Fermat小定理)
        }
        return y;
    }

    bool Miller_Rabin(ll n) {
        int i;
        ll tmp;
        for (i = 0; i < MT; i++) {
            tmp = prime[i];
            if (n == prime[i]) return true;
            if (TwiceDetect(tmp, n - 1, n) != 1)
                break;
        }
        return (i == MT);
    }

    int main() {
        ll n;
        while (scanf("%lld", &n) == 1) {
            if ((n > 1) && Miller_Rabin(n)) {
                printf("YES\n");
            } else {
                printf("NO\n");
            }
        }
        return 0;
    }

对于大数的素性判断，目前Miller-Rabin算法应用最广泛。一般底数仍然是随机选取，但当待测数不太大时，选择测试底数就有一些技巧了。比如，如果被测数小于4 759 123 141，那么只需要测试三个底数2, 7和61就足够了。当然，你测试的越多，正确的范围肯定也越大。如果你每次都用前7个素数(2, 3, 5, 7, 11, 13和17)进行测试，所有不超过341 550 071 728 320的数都是正确的。如果选用2, 3, 7, 61和24251作为底数，那么10^16内唯一的强伪素数为46 856 248 255 981。这样的一些结论使得Miller-Rabin算法在OI中非常实用。通常认为，Miller-Rabin素性测试的正确率可以令人接受，随机选取k个底数进行测试算法的失误率大概为4^(-k)。

部分引用自:

http://blog.csdn.net/fisher_jiang/article/details/986654

很大部分引用自:

http://www.matrix67.com/blog/archives/234