小波变换中的信号扩展(延拓)问题

题目：小波变换中的信号扩展(延拓)问题

        本篇主要是做为上一篇《压缩感知稀疏基之离散小波变换》的一个补充说明。

        首先给出一个卷积的例子：

       

        从上面的卷积计算过程中可以看出，在计算y(0)和y(4)时，x(n)和h(n)只有一个点对应，在计算其它值时有两个点对应，以上计算还可以用矩阵表示如下：

        我们可以对x(n)按某种规律进行扩展，以使求卷积过程中x(n)和h(n)一直有两个点（h的长度）对应，这就是信号的扩展。

        观察可知，只要对x(n)左右各扩展一个点即可，在Matlab中有函数wextend对信号进行扩展，扩展的模式如下：

        注意最后一种’per’模式，因为我们在生成N×N的小波变换矩阵时用的是此模式，所以重点阐述这种模式。

        在Matlab分别运行两条命令，可得输出结果如下：

>> x=[1 2 34];wextend(1,'per',x,1)

ans =

    4     1     2    3     4     1

>> x=[1 2 3];wextend(1,'per',x,1)

ans =

    3     1     2    3     3     1

        命令wextend(1,'per',x,1)中的输入参数中第一个“1”表示是一维扩展，最后一个“1”表示左右各扩展一个点。从上面的两个结果基本可知得到’per’模式的扩展规律：

        1）对于长度为偶数的序列，直接按周期进行扩展；

        2）对于长度为奇数的序列，先把序列延长一个点变为偶数后再按周期进行扩展。

        在上面的例子中，若对信号按’per’模式进行扩展，则计算过程如下：

        

        观察可以发现由h构成的矩阵各行实际上是一个循环移位的结果。

        我们可以在’per’扩展模式下写出一个较为复杂、但代表性更强的表达式，设x(n)长度为8，h(n)的长度为4，若对x(n)按’per’扩展模式扩展，则卷积表达式的矩阵形式为：

在Matlab中编程得到这个变换矩阵时，可以分成几个步骤：

1）参数初始化：N=length(x)，L=length(h)，在这里N=8，L=4

2）得到h=[h(0),h(1),h(2),h(3)]的反转序列，即h_1=[h(3),h(2),h(1),h(0)]，这一操作可使用命令“h_1 = fliplr(h);”实现

3）由h_1得到一个长为N的基本行向量：p1_0 = [h_1zeros(1,N-L)];

这里得到的p1_0实际上即是上面变换矩阵的第4行

4）通过对p1_0循环移位得到变换矩阵中的各行：

Matlab中有循环移位函数circshift，但这个函数是对行之间循环移位，而这里的行向量p1_0是1行N列，为了实现循环移位，可以对其先进行转置变为列向量再进行循环移位，移位结束后再转置变回行行量;

若要得到变换矩阵中的第一行：circshift(x’,-(L-1))，如：

>> x=[4 3 2 10 0 0 0]

x =

     4    3     2     1    0     0     0    0

>>circshift(x',-(4-1))'

ans =

     1    0     0     0    0     4     3    2

同理可以得到其它各行。