经典算法研究系列：六、教你初步了解KMP算法、updated

教你初步了解KMP算法

 

作者： July 、saturnma、上善若水。     时间； 二零一一年一月一日

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本文参考：数据结构（c语言版） 李云清等编著、算法导论

引言：
在文本编辑中，我们经常要在一段文本中某个特定的位置找出 某个特定的字符或模式。
由此，便产生了字符串的匹配问题。
本文由简单的字符串匹配算法开始，再到KMP算法，由浅入深，教你从头到尾彻底理解KMP算法。

来看算法导论一书上关于此字符串问题的定义：
假设文本是一个长度为n的数组T[1...n]，模式是一个长度为m<=n的数组P[1....m]。
进一步假设P和T的元素都是属于有限字母表Σ.中的字符。

依据上图，再来解释下字符串匹配问题。目标是找出所有在文本T=abcabaabcaabac中的模式P=abaa所有出现。
该模式仅在文本中出现了一次，在位移s=3处。位移s=3是有效位移。

 

第一节、简单的字符串匹配算法

简单的字符串匹配算法用一个循环来找出所有有效位移，
该循环对n-m+1个可能的每一个s值检查条件P[1....m]=T[s+1....s+m]。

NAIVE-STRING-MATCHER(T, P)
1 n ← length[T]
2 m ← length[P]
3 for s ← 0 to n - m
4     do if P[1 ‥ m] = T[s + 1 ‥ s + m]          
      //对n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
5           then print "Pattern occurs with shift" s

简单字符串匹配算法，上图针对文本T=acaabc 和模式P=aab。
上述第4行代码，n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
所以，在最坏情况下，此简单模式匹配算法的运行时间为O（(n-m+1)m）。

 

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下面我再来举个具体例子，并给出一具体运行程序：
对于目的字串target是banananobano,要匹配的字串pattern是nano,的情况，

下面是匹配过程，原理很简单，只要先和target字串的第一个字符比较，
如果相同就比较下一个，如果不同就把pattern右移一下，
之后再从pattern的每一个字符比较，这个算法的运行过程如下图。
//index表示的每n次匹配的情形。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int match(const string& target,const string& pattern)
{
    int target_length = target.size();
    int pattern_length = pattern.size();
    int target_index = 0;
    int pattern_index = 0;
    while(target_index < target_length && pattern_index < pattern_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else
        {
            target_index -= (pattern_index-1); 
            pattern_index = 0;
        }
    }
    if(pattern_index == pattern_length)
    {
        return target_index - pattern_length;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}
int main()
{
    cout<<match("banananobano","nano")<<endl;
    return 0;
}

//运行结果为4。

 

上面的算法进间复杂度是O(pattern_length*target_length),
我们主要把时间浪费在什么地方呢，
观查index =2那一步，我们已经匹配了3个字符，而第4个字符是不匹配的，这时我们已经匹配的字符序列是nan,

此时如果向右移动一位，那么nan最先匹配的字符序列将是an,这肯定是不能匹配的，
之后再右移一位，匹配的是nan最先匹配的序列是n,这是可以匹配的。

如果我们事先知道pattern本身的这些信息就不用每次匹配失败后都把target_index回退回去，
这种回退就浪费了很多不必要的时间，如果能事先计算出pattern本身的这些性质，
那么就可以在失配时直接把pattern移动到下一个可能的位置，
把其中根本不可能匹配的过程省略掉，
如上表所示我们在index=2时失配，此时就可以直接把pattern移动到index=4的状态，
kmp算法就是从此出发。

 

第二节、KMP算法

2.1、 覆盖函数(overlay_function)

覆盖函数所表征的是pattern本身的性质，可以让为其表征的是pattern从左开始的所有连续子串的自我覆盖程度。
比如如下的字串，abaabcaba

由于计数是从0始的，因此覆盖函数的值为0说明有1个匹配，对于从0还是从来开始计数是偏好问题，

具体请自行调整，其中-1表示没有覆盖，那么何为覆盖呢，下面比较数学的来看一下定义，比如对于序列

 

a0a1...aj-1 aj

 

要找到一个k,使它满足

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj

而没有更大的k满足这个条件，就是说要找到尽可能大k,使pattern前k字符与后k字符相匹配，k要尽可能的大，
原因是如果有比较大的k存在，而我们选择较小的满足条件的k，
那么当失配时，我们就会使pattern向右移动的位置变大，而较少的移动位置是存在匹配的，这样我们就会把可能匹配的结果丢失。

比如下面的序列，

在红色部分失配，正确的结果是k=1的情况，把pattern右移4位，如果选择k=0,右移5位则会产生错误。
计算这个overlay函数的方法可以采用递推，可以想象如果对于pattern的前j个字符，如果覆盖函数值为k

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj
则对于pattern的前j+1序列字符，则有如下可能
⑴     pattern[k+1]==pattern[j+1] 此时overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
⑵     pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此时只能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到相应的overlay函数，h=overlay(k),如果此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则重复(2)过程.

 

下面给出一段计算覆盖函数的代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
void compute_overlay(const string& pattern)
{
    const int pattern_length = pattern.size();
    int *overlay_function = new int[pattern_length];
    int index;
    overlay_function[0] = -1;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_function[i-1];
        //store previous fail position k to index;
        
        while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])
        {
            index = overlay_function[index];
        }
        if(pattern[i]==pattern[index+1])
        {
            overlay_function[i] = index + 1;  
        }
        else
        {
            overlay_function[i] = -1;
        }
    }
    for(i=0;i<pattern_length;++i)
    {
        cout<<overlay_function[i]<<endl;
    }
    delete[] overlay_function;
}
int main()
{
    string pattern = "abaabcaba";
    compute_overlay(pattern);
    return 0;
}

 

 

运行结果为：

-1
-1
0
0
1
-1
0
1
2
Press any key to continue

-------------------------------------

 

2.2、kmp算法
     有了覆盖函数，那么实现kmp算法就是很简单的了，我们的原则还是从左向右匹配，但是当失配发生时，我们不用把target_index向回移动，target_index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来，只要动pattern_index就可以了。

当发生在j长度失配时，只要把pattern向右移动j-overlay(j)长度就可以了。

 如果失配时pattern_index==0，相当于pattern第一个字符就不匹配，
这时就应该把target_index加1，向右移动1位就可以了。

 

ok，下图就是KMP算法的过程（红色即是采用KMP算法的执行过程）：

 

另一作者saturnman发现，在上述KMP匹配过程图中，index=8和index=11处画错了。还有，anaven也早已发现，index=3处也画错了。非常感谢。但图已无法修改，见谅。

 

KMP 算法可在O（n+m）时间内完成全部的串的模式匹配工作。

 

ok，最后给出KMP算法实现的c++代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

int kmp_find(const string& target,const string& pattern)
{
    const int target_length = target.size();
    const int pattern_length = pattern.size();
    int * overlay_value = new int[pattern_length];
    overlay_value[0] = -1;
    int index = 0;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_value[i-1];
        while(index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])
        {
            index  = overlay_value[index];
        }
        if(pattern[index+1]==pattern[i])
        {
            overlay_value[i] = index +1;
        }
        else
        {
            overlay_value[i] = -1;
        }
    }
    //match algorithm start
    int pattern_index = 0;
    int target_index = 0;
    while(pattern_index<pattern_length&&target_index<target_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else if(pattern_index==0)
        {
            ++target_index;
        }
        else
        {
            pattern_index = overlay_value[pattern_index-1]+1;
        }
    }
    if(pattern_index==pattern_length)
    {
        return target_index-pattern_index;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
    delete [] overlay_value;
}

int main()
{
    string source = " annbcdanacadsannannabnna";
    string pattern = " annacanna";
    cout<<kmp_find(source,pattern)<<endl;
    return 0;
}
//运行结果为 -1.

 

第三节、kmp算法的来源
    kmp如此精巧，那么它是怎么来的呢，为什么要三个人合力才能想出来。其实就算没有kmp算法，人们在字符匹配中也能找到相同高效的算法。这种算法,最终相当于kmp算法，只是这种算法的出发点不是覆盖函数，不是直接从匹配的内在原理出发，而使用此方法的计算的覆盖函数过程序复杂且不易被理解，但是一但找到这个覆盖函数，那以后使用同一pattern匹配时的效率就和kmp一样了，其实这种算法找到的函数不应叫做覆盖函数，因为在寻找过程中根本没有考虑是否覆盖的问题。

    说了这么半天那么这种方法是什么呢，这种方法是就大名鼎鼎的确定的有限自动机(Deterministic finite state automaton DFA),DFA可识别的文法是3型文法，又叫正规文法或是正则文法，既然可以识别正则文法，那么识别确定的字串肯定不是问题(确定字串是正则式的一个子集)。对于如何构造DFA,是有一个完整的算法，这里不做介绍了。在识别确定的字串时使用DFA实在是大材小用，DFA可以识别更加通用的正则表达式，而用通用的构建DFA的方法来识别确定的字串，那这个overhead就显得太大了。

    kmp算法的可贵之处是从字符匹配的问题本身特点出发，巧妙使用覆盖函数这一表征pattern自身特点的这一概念来快速直接生成识别字串的DFA,因此对于kmp这种算法，理解这种算法高中数学就可以了，但是如果想从无到有设计出这种算法是要求有比较深的数学功底的。

 

第四节、精确字符匹配的常见算法的解析

KMP算法：

KMP就是串匹配算法

运用自动机原理

比如说

我们在S中找P

设P＝{ababbaaba}

我们将P对自己匹配

下面是求的过程:{依次记下匹配失败的那一位}

[2]ababbaaba

.......ababbaaba[1]

[3]ababbaaba

.........ababbaaba[1]

[4]ababbaaba

.........ababbaaba[2]

[5]ababbaaba

.........ababbaaba[3]

[6]ababbaaba

................ababbaaba[1]

[7]ababbaaba

................ababbaaba[2]

[8]ababbaaba

..................ababbaaba[2]

[9]ababbaaba

..................ababbaaba[3]

 

得到Next数组『0,1,1,2,3,1,2,2,3』

主过程：

[1]i:=1 j:=1

[2]若(j>m)或(i>n)转[4]否则转[3]

[3]若j=0或a[i]=b[j]则【inc(i)inc(j)转[2]】否则【j:=next[j]转2】

[4]若j>m则return(i-m)否则return -1;

若返回－1表示失败，否则表示在i-m处成功

 

BM算法也是一种快速串匹配算法，KMP算法的主要区别是匹配操作的方向不同。虽然T右移的计算方法却发生了较大的变化。

为方便讨论，T＝＂dist ：ｃ－＞｛dist称为滑动距离函数，它给出了正文中可能出现的任意字符在模式中的位置。函数                                                    m – j j为                                   dist（m+1     若c = tm

例如，pattern＂，则p）a）t）dist（= 2，r）n）BM算法的基本思想是：假设将主串中自位置i + dist(si)位置开始重新进行新一轮的匹配，其效果相当于把模式和主串向右滑过一段距离si），即跳过si）个字符而无需进行比较。

下面是一个S =＂T=＂BM算法可以大大加快串匹配的速度。

下面是KMP算法部分，把调用BM函数便可。

 

1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. int Dist(char *t,char ch)  
5. {  
6.     int len = strlen(t);  
7.     int i = len - 1;  
8.     if(ch == t[i])  
9.         return len;  
10.     i--;  
11.     while(i >= 0)  
12.     {  
13.         if(ch == t[i])  
14.             return len - 1 - i;  
15.         else  
16.             i--;  
17.     }  
18.     return len;  
19. }  
20.   
21. int BM(char *s,char *t)  
22. {  
23.     int n = strlen(s);  
24.     int m = strlen(t);  
25.     int i = m-1;  
26.     int j = m-1;  
27.     while(j>=0 && i<n)  
28.     {  
29.         if(s[i] == t[j])  
30.         {  
31.             i--;  
32.             j--;  
33.         }  
34.         else  
35.         {  
36.             i += Dist(t,s[i]);  
37.             j = m-1;  
38.         }  
39.     }  
40.     if(j < 0)  
41.     {  
42.         return i+1;  
43.     }  
44.     return -1;  
45. }  

 

 

Horspool算法
这个算法是由R.Nigel Horspool在1980年提出的。其滑动思想非常简单，就是从后往前匹配模式串，若在某一位失去匹配，此位对应的文本串字符为c，那就将模式串向右滑动，使模式
串之前最近的c对准这一位，再从新从后往前检查。那如果之前找不到c怎么办？那好极了，直接将整个模式串滑过这一位。
例如：

文本串：abdabaca
模式串：baca

倒数第2位失去匹配，模式串之前又没有d，那模式串就可以整个滑过，变成这样：

文本串：abdabaca
模式串：   baca

发现倒数第1位就失去匹配，之前1位有c，那就向右滑动1位：

文本串：abdabaca
模式串：    baca

实现代码：

1. #include <iostream>  
2. #include <vector>  
3. #include <string>  
4. #include <cstdlib>  
5. using namespace std;  
6.   
7. int  Horspool_match(const string & S,const string & M,int pos)  
8. {  
9.     int  S_len = S.size();  
10.     int  M_len = M.size();  
11.     int  Mi = M_len-1,Si= pos+Mi;  //这里的串的第1个元素下标是0  
12.     if( (S_len-pos) < M_len )  
13.         return -1;  
14.     while ( (Mi>-1) && (Si<S_len) )  
15.     {  
16.         if (S[Si] == M[Mi])  
17.         {  
18.             --Mi;  
19.             --Si;  
20.         }  
21.         else  
22.         {  
23.             do  
24.             {   
25.                 Mi--;   
26.             }   
27.             while( (S[Si]!=M[Mi]) || (Mi>-1) );  
28.             Mi = M_len - 1;  
29.             Si += M_len - 1;  
30.         }  
31.     }  
32.     if(Si < S_len)      
33.         return(Si + 1);  
34.     else                
35.         return -1;  
36. }  
37.   
38. int main( )  
39. {  
40.     string S="abcdefghabcdefghhiijiklmabc";  
41.     string T="hhiij";  
42.     int    pos = Horspool_match(S,T,3);  
43.       
44.     cout<<"/n"<<pos<<endl;  
45.     system("pause");  
46.     return 0;  
47. }  

   

SUNDAY算法：
BM算法的改进的算法SUNDAY--Boyer-Moore-Horspool-Sunday Aglorithm

BM算法优于KMP

SUNDAY 算法描述：

字符串查找算法中，最著名的两个是KMP算法（Knuth-Morris-Pratt)和BM算法（Boyer-Moore)。两个算法在最坏情况下均具有线性的查找时间。但是在实用上，KMP算法并不比最简单的c库函数strstr()快多少，而BM算法则往往比KMP算法快上3－5倍。但是BM算法还不是最快的算法，这里介绍一种比BM算法更快一些的查找算法即Sunday算法。

例如我们要在"substring searching algorithm"查找"search"，刚开始时，把子串与文本左边对齐：

substring searching algorithm
search
^
结果在第二个字符处发现不匹配，于是要把子串往后移动。但是该移动多少呢？这就是各种算法各显神通的地方了，最简单的做法是移动一个字符位置；KMP是利用已经匹配部分的信息来移动；BM算法是做反向比较，并根据已经匹配的部分来确定移动量。这里要介绍的方法是看紧跟在当前子串之后的那个字符（上图中的 'i')。

显然，不管移动多少，这个字符是肯定要参加下一步的比较的，也就是说，如果下一步匹配到了，这个字符必须在子串内。所以，可以移动子串，使子串中的最右边的这个字符与它对齐。现在子串'search'中并不存在'i'，则说明可以直接跳过一大片，从'i'之后的那个字符开始作下一步的比较，如下图：

substring searching algorithm
 search
^

比较的结果，第一个字符就不匹配，再看子串后面的那个字符，是'r',它在子串中出现在倒数第三位，于是把子串向前移动三位，使两个'r'对齐，如下：

substring searching algorithm
  search
^

哈！这次匹配成功了！回顾整个过程，我们只移动了两次子串就找到了匹配位置，可以证明，用这个算法，每一步的移动量都比BM算法要大，所以肯定比BM算法更快。

1. #include<iostream>  
2. #include<fstream>  
3. #include<vector>  
4. #include<algorithm>  
5. #include<string>  
6. #include<list>  
7. #include<functional>  
8.   
9. using namespace std;  
10.   
11. int main()  
12. {  
13.     char *text=new char[100];  
14.     text="substring searching algorithm search";  
15.     char *patt=new char[10];  
16.     patt="search";  
17.     size_t temp[256];  
18.     size_t *shift=temp;  
19.       
20.     size_t patt_size=strlen(patt);  
21.     cout<<"size : "<<patt_size<<endl;  
22.     for(size_t i=0;i<256;i++)  
23.         *(shift+i)=patt_size+1;//所有值赋于7，对这题而言  
24.       
25.     for(i=0;i<patt_size;i++)  
26.         *(shift+unsigned char(*(patt+i) ) )=patt_size-i;  
27.         /* //       移动3步-->shift['r']=6-3=3;移动三步 
28.         //shift['s']=6步,shitf['e']=5以此类推 
29.     */  
30.       
31.     size_t text_size=strlen(text);  
32.     size_t limit=text_size-i+1;  
33.       
34.     for(i=0;i<limit;i+=shift[text[i+patt_size] ] )  
35.         if(text[i]==*patt)  
36.         {  
37.         /*       ^13--这个r是位，从0开始算 
38.         substring searching algorithm 
39.         search 
40.         searching-->这个s为第10位，从0开始算 
41.         如果第一个字节匹配，那么继续匹配剩下的 
42.             */  
43.               
44.             char* match_text=text+i+1;  
45.             size_t     match_size=1;  
46.             do{  
47.                 if(match_size==patt_size)  
48.                       
49.                     cout<<"the no is "<<i<<endl;  
50.             }while( (*match_text++)==patt[match_size++] );  
51.         }  
52.           
53.         cout<<endl;     
54.     }  
55.     delete []text;  
56.     delete []patt;    
57.     return 0;     
58. }  
59.   
60. //运行结果如下：  
61. /* 
62. size : 6 
63. the no is 10 
64. the no is 30 
65. Press any key to continue 
66. */   

本文完，更多请参考：六（续）、从KMP算法一步一步谈到BM算法。