树状数组学习小结
树状数组，又称二进制索引树，英文名Binary Indexed Tree。
一、树状数组的用途
主要用来求解数列的前缀和，a[0]+a[1]+...+a[n]。
由此引申出三类比较常见问题：
1、单点更新，区间求值。（HDU1166）
2、区间更新，单点求值。（HDU1556）
3、求逆序对。（HDU2838）
二、树状数组的表示
1、公式表示
设A[]为一个已知的数列。C[]为树状数组。则会有
C[i]=A[j]+...+A[i]；j=i&(-i)=i&(i^(i-1))。
2、图形表示
（注：1、最下面的一行表示数组A，上面的二进制表示的部分是C；
2、图片来源于http://hi.baidu.com/rain_bow_joy/blog/item/569ec380c39730d2bc3e1eae.html）
从以上可以发现：
1、树状数组C是表示普通数组A的一部分的和。
2、小标为奇数时，C[i]只能管辖一个A[i]。
3、C[i]的最后一个数一定是A[i]。
三、树状数组的关键代码
1、
int lowBit(int x)
{
return x&(-x);
}
这段代码可以简单的理解为是树状数组向前或向后衍生是用的。
向后主要是为了找到目前节点的父节点，比如要将C[4]+1，那么4+(4&(-4))=8，C[8]+1，8+(8&(-8))=16，
C[16]+1。
向前主要是为了求前缀和，比如要求A[1]+...+A[12]。那么，C[12]=A[9]+...+A[12]；然后12-12&(-12)=8，
C[8]=A[1]+...+A[8]。
2、
void modify(int pos,int num) //pos为数组下标位置，num为要增加的值
{
while(pos<=n) //n为数组的长度
{
c[pos]+=num;
pos+=lowBit(pos);
}
}
这段代码是用来更新树状数组的，包括区间更新、单点更新。
就是想刚才所说的，一点更新了，要不断将父节点也更新。
3、
int getResult(int pos) //求A[1]+...+A[pos]
{
int sum=0;
while(pos>0)
{
sum+=c[pos];
pos-=lowBit(pos);
}
return sum;
}
这段代码用来求解前缀和的。
就像刚才说的，求解A[1]+...+A[12]，也就是C[12]+C[8]搞定。
四、树状数组的优点
1、原本的长度为n的数列求和时间复杂度为O(n)，更改的时间复杂度为O(1)。
树状数组将其优化为O(logn)。在n较大时，效率更高。
2、树状数组编码简单。
五、注意
1、树状数组的下标要从1开始。
2、在学习的过程中遇到这么个问题。不知道为什么pos+pos&(-pos)就到了pos的父节点，也不知道
为什么pos-pos&(-pos)就得到了下一个无联系的节点，从而可以得到前缀和。
我只能说：我不懂如何证明，这是数学问题了，树状数组的发明者应该就是发现了这点才搞出树状
数组的吧。初学者不妨抛开这点，专注于事实，将上面的图形自己计算画一遍，非常有利于理解。
六、符代码：
HDU1166
单点更新，区间求值
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=50001;
int a[maxn];
int c[maxn];
int n;
int lowBit(int t)
{
return t&(-t);
}
void modify(int t,int num)
{
while(t<=n)
{
c[t]+=num;
t+=lowBit(t);
}
}
int getResult(int t)
{
int num=0;
while(t>0)
{
num+=c[t];
t-=lowBit(t);
}
return num;
}
void init()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
modify(i,a[i]);
}
}
int main()
{
int cas,Case=1;
scanf("%d",&cas);
while(cas--)
{
memset(c,0,sizeof(c));
printf("Case %d:\n",Case++);
scanf("%d",&n);
init();
char ch[15];
int a,b;
while(scanf("%s",&ch),strcmp(ch,"End"))
{
scanf("%d%d",&a,&b);
switch(ch[0])
{
case 'Q':
printf("%d\n",getResult(b)-getResult(a-1));
break;
case 'A':
modify(a,b);
break;
case 'S':
modify(a,-b);
break;
}
}
}
system("pause");
return 0;
}
HDU1556
区间更新，单点求值
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100001;
int c[maxn];
int n;
int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
void insert(int t,int d)
{
while(t<=n)
{
c[t]+=d;
t+=lowbit(t);
}
}
int getSum(int t)
{
int sum=0;
while(t>0)
{
sum+=c[t];
t-=lowbit(t);
}
return sum;
}
int main()
{
while(cin>>n,n)
{
int a,b;
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
insert(a,1);
insert(b+1,-1);
}
for(int j=1;j<n;j++)
{
printf("%d ",getSum(j));
}
printf("%d\n",getSum(n));
}
system("pause");
return 0;
}
HDU2838
求逆序对
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100001;
struct node
{
int cnt;
__int64 sum;
}tree[maxn];
int n;
int lowBit(int x)
{
return x&(-x);
}
void modify(int x,int y,int t)
{
while(x<=n)
{
tree[x].sum+=y;
tree[x].cnt+=t; //tree[].cnt来保存是否出现过a
x+=lowBit(x);
}
}
__int64 query_cnt(int x) //比x小的数的个数
{
__int64 sum=0;
while(x>0)
{
sum+=tree[x].cnt;
x-=lowBit(x);
}
return sum;
}
__int64 query_sum(int x) //比x小的所有数之和
{
__int64 sum=0;
while(x>0)
{
sum+=tree[x].sum;
x-=lowBit(x);
}
return sum;
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
int a;
__int64 ans=0;
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);
modify(a,a,1); //以a为下标更新数组
__int64 k1=i-query_cnt(a); //k1为前i个数比a大的数的个数
if(k1!=0)
{
__int64 k2=query_sum(n)-query_sum(a); //目前所有数的和-目前所有比a小的数的和，为比a大的数的和
ans+=k1*a+k2; //调换a所需的时间
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
system("pause");
return 0;
}
七、二维树状数组
C[x][y]=sum(A[i][j])。其中，x-lowBit(x)+1<=i<=x，y-lowBit(y)+1<=j<=y。
例题：HDU1892
二维树状数组一般就是对矩阵的操作，更新、求值。。。
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int c[maxn][maxn];
int lowBit(int x)
{
return x&(-x);
}
void modify(int x,int y,int val)
{
for(int i=x;i<maxn;i+=lowBit(i))
{
for(int j=y;j<maxn;j+=lowBit(j))
{
c[i][j]+=val;
}
}
}
int getResult(int x,int y)
{
int sum=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowBit(i))
{
for(int j=y;j>0;j-=lowBit(j))
{
sum+=c[i][j];
}
}
return sum;
}
int getVal(int x,int y)
{
return getResult(x,y)-getResult(x-1,y)-getResult(x,y-1)+getResult(x-1,y-1);
}
void init()
{
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<maxn;i++)
{
for(int j=1;j<maxn;j++)
{
modify(i,j,1);
}
}
}
int main()
{
int cas,cas1=1,query;
scanf("%d",&cas);
while(cas--)
{
init();
scanf("%d",&query);
printf("Case %d:\n",cas1++);
for(int i=1;i<=query;i++)
{
char ch;
int x1,y1,x2,y2,n;
getchar();
scanf("%c",&ch);
switch(ch)
{
case 'S':
{
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
int x11=min(x1,x2);
int x22=max(x1,x2);
int y11=min(y1,y2);
int y22=max(y1,y2);
printf("%d\n",getResult(x22+1,y22+1)-getResult(x11,y22+1)-getResult(x22+1,y11)+getResult(x11,y11));
break;
}
case 'A':
{
scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&n);
modify(x1+1,y1+1,n);
break;
}
case 'M':
{
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&n);
int v=getVal(x1+1,y1+1);
int Min=min(n,v);
modify(x1+1,y1+1,-Min);
modify(x2+1,y2+1,Min);
break;
}
case 'D':
{
scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&n);
int v=getVal(x1+1,y1+1);
int Min=min(v,n);
modify(x1+1,y1+1,-Min);
break;
}
}
}
}
system("pause");
return 0;
}
八、参考文章
http://mindlee.net/2011/07/10/binary-indexed-trees/
http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/