欧几里德算法、扩展欧几里德算法、乘法逆元

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欧几里德算法、扩展欧几里德算法、乘法逆元

2009年05月22日 星期五 下午 12:15

最近看了一本书《程序员》里面说的一个面试题： 求两个数的最大公约数： SoEasy的题目看过C 的人都知道怎么写这个程序 1.传统方法：穷举 #include <math.h> int main() { int m=1970,n=1066,p=0; p=m<n?m:n; for(;p>=1;p--) {    Count++;     if(m%p==0&&n%p==0)    break; } printf("最大公约数是:%d /n",p); printf("循环了:%d /n",Count); return 0; } 最大公约数是：2 循环了：1065次 2.辗转相除 #include<stdio.h> int main() { int m=1970,n=1066,p=0; while(m%n != 0) {    p = m%n;    m = n;    n = p;    Count++; } printf("最大公约数是%d/n",n); printf("循环了%d/n",Count); return 0; } 最大公约数是：2 循环了：10 对于求1970和1066的最大公约数辗转相除法明显优秀很多。 我们可以将辗转相除法做一个变形。p=m%n 然后将p赋给n实际上就是一个交换 可以写成一个递归的形式如下： int gcd(int m,int n) {       if(n==0)//递归出口             return m;       else              return gcd(n,m%n); } 这个函数就是传说中的欧几里德算法的描述了。 3.欧几里德算法 #include<stdio.h> int gcd(int m,int n); int main(int argc, char* argv[]) {      int m=1970,n=1066;      printf("最大公约数是：%d/n",gcd(m,n));      return 0; } int gcd(int m,int n) {      if(n==0)      {          return m;      }      else      {         return gcd(n,m%n);       } } 最大公约数是：2 递归了：10 这个算法基本原理就是辗转相除，效率很高。 在面试的人中大部分都是采用第一种传统的方法。显然面试官想要的是第二种人了。其实从实现的过程来看后者要显得简单一些，递归很好理解。可能是我们都习惯于停用一种算法就解决问题。 4.扩展欧几里德算法 这个算法的并不是为了求最大公约数而设计的，但是它同样可以实现求最大公约数，原理就是Euclid。 扩展欧几里德算主要是解决乘法逆元的问题：A*BModC=1可以将B描述为：A模C的乘法逆元。好了看看算法吧： int ExGcd(int a, int b, int &x, int &y); int main(int argc, char* argv[]) { int m=550,n=1769; int x=0,y=0; int k; k=ExGcd(m,n,x,y); printf("550 和 1769的最大公约数是：%d/n550模1769的乘法逆元是：%d/n1769模550的乘法逆元是：%d/n",k,x,y); return 0; } /*************************************** 函数：ExGcd 功能：求两个数的最大公约数和模P的乘法逆元。 输入：a,b 输入参数，求这两个数的最大公约数    和a模b的逆元 或 b模a的逆元。 输出：x,y 分别表示a模b的逆元和b模a的逆元。 返回：r 表示a b 的最大公约数。 *************************************/ int ExGcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) {    x = 1;    y = 0;    return a; } int r = ExGcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return r; } 程序中有详细的解释。 总结：积累高效算法很重要！