有向图强连通分量tarjan算法
转自：http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/
http://blog.csdn.net/geniusluzh/article/details/6601514
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j];
}
if (DFN[i]==LOW[i])
{
Bcnt++;
do
{
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=i);
}
}
void solve()
{
int i;
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i<=N;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}
强连通分量是有向图中的概念，我们先说强连通分量的定义吧：在一个图的子图中，任意两个点相互可达，也就是存在互通的路径，那么这个子图就是强连通分量（或者称为强连通分支）。如果一个有向图的任意两个点相互可达，那么这个图就称为强连通图。
我们常用的求强连通分量的算法有两个，一个是Kosaraju算法，这个算法是基于两次dfs来实现的；还有一个就是Tarjan算法，这个算法完成一次dfs就可以找到图中的强连通分支。我的这篇文章主要介绍Tarjan算法。
Tarjan算法是基于这样一个原理：如果u是某个强连通分量的根，那么：
（1）u不存在路径可以返回到它的祖先
（2）u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。
因此我们在实现Tarjan算法的时候，使用dfsnum[i]记录节点i被访问的时间，也可以理解为在访问该点之前已经访问的点的个数。然后使用数组low[i]记录点i或者i的子树最小可以返回到的节点（在栈中）的次序号。
这里还要说一下low[i]的更新过程，
if(v是i向下dfs的树边) low[i]=min(low[i],low[v]);//这里也就是说low[i]表示i或者i的子树所能追回到的最小的点序号。
if(v不是树边也不是横叉边) low[i]=min(low[i],dfsnum[v]);//其实这里你直接更新成low[v]代替dfsnum[v]也是可以的
根据上面的原理，我们可以发现只有当dfsnum[i]==low[i]的时候就正好是强连通分量的根。这个时候我们把在栈中的点（在遇到根之前在栈中的点）出栈，并且标记好点所属的强连通分支的编号。(dfsnum[i]==low[i]主要思想还是说明了，有从i经过一些结点回到i结点的回路，有环肯定就是强联通分支)
整个Tarjan算法跑下来就可以完成强连通分支的求解了。
下面我贴上我的在HDU 1269上判断一个图是否是强连通图的代码，这个代码其实就完成了Tarjan算法，最后只要简单判断下整个图是否是只有一个强连通分支就可以了。
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 100010
int dfsnum[MAX],dfsNum,low[MAX];
int sccnum[MAX],sccNum;
int instack[MAX],st[MAX],top;
typedef struct EDGE
{
int v,next;
}edge;
edge e[MAX];
int edgeNum;
int head[MAX];
void insertEdge(int a,int b)//边a--->b
{
e[edgeNum].v=b;//v记录的是边的尾
e[edgeNum].next=head[a];//以点a开始的所有邻接边
head[a]=edgeNum++;//以点a为头的第一条边；同理，第二条边是e[head[a]].next,
}
void Tarjan(int i)
{
dfsnum[i]=low[i]=++dfsNum;
st[top++]=i;
instack[i]=1;
int j=head[i];
for(j=head[i];j!=-1;j=e[j].next)
{
int v=e[j].v;
if(dfsnum[v]==0)//为树边
{
Tarjan(v);
if(low[i]>low[v])
low[i]=low[v];
}
else if(instack[v])
{
if(low[i]>dfsnum[v])
low[i]=dfsnum[v];
}
}
if(dfsnum[i]==low[i])
{
do
{
top--;
sccnum[st[top]]=sccNum;//标记在第sccNum强连通分支中的点的标记为sccNum
instack[st[top]]=0;
}while(top>=0&&st[top]!=i);
sccNum++;
}
}
void solve(int n)
{
int i;
memset(dfsnum,0,sizeof(dfsnum));
memset(instack,0,sizeof(instack));
dfsNum=0;
top=0;
sccNum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(dfsnum[i]==0)
Tarjan(i);
}
}
int main()
{
int n,m;
int a,b,i;
while(scanf("%d %d",&n,&m))
{
if(m==0&&n==0)
break;
memset(head,-1,sizeof(head));
edgeNum=0;
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d %d",&a,&b);
insertEdge(a,b);
}
solve(n);
if(sccNum==1)
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
}
return 0;
}