图的最小生成树（一）—Kruskal算法

求下图的最小生成树：

数据给出如下：

第一行有两个数，n表示n个城市，m表示m条道路，接下来的m行，每行三个数a,b,c表示城市a到城市b的路程c。

现在需要解决的是，要求要最少的边让图连通（任意两点之间可以互相到达）。要想让n个顶点的图连通，那么至少需要n-1条边。其实这里就是求一个图的最小生成树。

基本思路：

首先按照边的权值进行从小到大排序，每次从剩余的边中选择权值较小且边的两个顶点不在同一个集合内（将所有的顶点放入一个并查集中，判断两个顶点是否连通，只需判断两个顶点是否在同一个集合中，即是否有共同的祖先，这样时间复杂度为O(logN)）的边（就是不会产生回路的边），加入到生成树中，直到加入了n-1条边为止。

输入上述数据后的运行结果：

Kruskal算法的时间复杂度：

对边进行快排O(MlogM)，在m条边中找出n-1条边是O(MlogN)，所有Kruskal算法的时间复杂度为O(MlogM+MlogN)。

通常M要比N大很多，因此最终时间复杂度为O(MlogM)。