矩阵论考试复习纲要
为了方便大家复习备考，本人根据个人学习情况，总结一下矩阵论的复习纲要。希望对大家有所帮助，首先声明，仅供参考！！一切后果自负！！
由于个人能力有限，希望大家给予补充，以最大可能的缩小范围，点中考题。
祝大家考试顺利！！！
一、 考试分析
本学期矩阵论是全校统考，已经确定。原因很简单：由于以前赵亦工考试出的题目多是证明题，甚至都是他的学生从历年的题目中抽取的。证明题目有个好处就是在评分过程中比较灵活（这也是我出题时比较喜欢出简答题的原因），所以选赵亦工的学生的成绩均在80分左右，他的研究生更高一些。而选其他老师的学生的成绩由于题目的局限性，一般相对比较低。所以其他老师反映赵出的题目简单或评分比较松，建议研究生院采用统考的形式考试。
由于本次考试通知统考比较紧急，各个老师在讲课过程中的侧重点可能不同。这样出题就成了问题。因此他们出题的原则应该是取交集的形式。
但对赵的学生就好坏各半，理由有三：1、赵今年时间比较充足，所以决定自己出题，那么题目就可能与往年不同，这样选他课程的学生复习的难度比较大，因为赵的思维方式，我们大部分学生是想不到的。但如果采用统考，那么这种让人看了就发蒙的题目估计会被其他老师拿掉，从而降低了难度。2、由于其他老师的题目至少有计算题，而赵从来不主张多计算，但如果计算水平不是很差的话，只要会做赵的证明题，基本上可以做同类型的计算题。复习的时候可以参考其他老师的要点复习。3、刚才也提到，赵从来不注重计算，所以讲课过程中有些计算比较复杂的要点他几乎没有讲过，如Jordan标准型。那么如果有这类型的题目估计就要认栽了，所以准备考试的时候注意提防，幸好他从没讲过的有关计算的要点不多。
对第三点还要多说一点：这种情况出现的可能性还比较大，因为共有四位老师，其中三位多是关注计算的，那么如果说出到如Jordan标准型的问题，其他三位都觉得这是很基本的问题，那么这类的题目就不会被赵拿掉，因为这个概念的确是很基本的。
历年试题大家也要看一下，其中好像有一份统考题目（2000年春季研究生课程考试试卷-矩阵理论），大家可以看一下当时是怎么出的。赵虽然说不考原题，但没有说不考原题对应的考点，所以我觉得历年试题对应的考点还是非常重要的。
另外，大家也不必担心考试的事情，尤其是选赵的课的同学，因为，这次评分赵也不会很严格，75分应该是低线，因为，如果这次考试如果他的学生成绩比较低的话，那么其他老师的反应不就成为现实了吗？（以前只所以考的高是因为题目简单）所以他会这样：即使是统考，他的学生的成绩也不能差，这不就显得他有水平嘛！！！
二、 考试重点章节和要点
重点章节：说句老实话，赵讲的内容的覆盖面还是最多的。那么对他来讲基本上讲过的都应该会的。因此重点章节应参考其他老师，史小卫老师重点在一、三、四、六章，而这些章节的内容赵基本上都讲过的，因此考试重点就应该是这几章，其中第一章和第六章的综合题（看着像第一章，但又有第六章的内容）应该占的比重比较大。
各章节要点考点分析：
第一章：复习要点线性空间、线性变换、Jordan标准型和特征值的求解
1、线性空间：主要是线性子空间的问题，但有些概念必须了解，其中子空间的交与和、核空间和零空间、基与坐标必须掌握。
说明：
a、 子空间的定义，即子空间关于加法和数乘的封闭性。考试的可能性比较大。
b、 集合、空间的隶属关系往往考的就是核空间和零空间的问题。
c、 核空间和零空间是线性子空间、核空间和零空间的隶属关系、秩和维数都是考试的重点，可以说是必考，形式可能是和第六章结合。
d、 子空间的交与和主要掌握概念，一般和子空间结合考核。
e、 基与坐标很简单，一般不考，要考的话也就是个简单的坐标计算。
f、 特别说明：不管空间或者是集合，在计算和证明时一定要首先说明是非空的。
2、线性变换：考试内容可能不多，主要一个概念即线性变换的概念。
说明：有一种题目必须注意，给你一个算子让你证明他是线性算子，如证明投影算子Pl m 为线性算子。证明也不麻烦，和纯量证明一样，证明f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)即可。
3、Jordan标准型和特征值的求解：
由于我选的是赵的课，Jordan标准型我基本不懂，所以留给其他同学补充。
特征值求解：我认为不考，理由：要么计算非常复杂，你知道怎么算，但很难很快算出结果，要么就是非常简单，本科段考过很多次了，如果是出到这块应该是送分的题目。
4、其他
由于时间比较仓促，没有细细整理，但一定要注意第六章有很多地方，提到了第一章的很多概念。
第二章：范数理论
由于本章史小卫老师就没有作为重点讲解，所以题目不会太多，但不等于不考。因此复习要点主要体现在两个方面：
1、范数的定义：主要是向量范数的定义，题目类型应为给你一个表达式，请你证明他是范数。证明就是验证范数的三个性质，即非负性、齐次性和三角不等式，难点在验证三角不等式（以及柯西-施瓦多不等式）。不过我想考的可能性比较小。
2、矩阵范数：相对范数的定义考的可能性要大一些，重点在矩阵范数的相容性。如教材P129的例题和P141的定理3.3的证明均用到了矩阵范数的相容性，包括教材的矩阵范数的应用那节的内容也大量用到了相容性的性质。解题的关键是如何使用相容性的性质。在历年试题里也有类似的题目。
第三章：矩阵函数
虽然每个老师第三章内容都作为重点讲解了，但侧重点各不相同，其中赵就专门讲了函数矩阵的概念，同时在这里讲了k氏积（直积在教材第五章最后），因此本章虽然是重点但考点并不多，因此复习起来也不是非常麻烦。本章极易考计算题，或类计算的证明题。
1、纯量中成立的定理可以通过映射使矩阵中仍然成立：无论矩阵级数的收敛问题，还是矩阵函数的证明及计算问题，均可借鉴纯量中的定理证明及计算方法，有些就是纯量中的方法。
2、纯量中的定理的映射的证明：如教材P146定理3.4的证明以及教材P152的定理及例题。P152的例题关于纯量中三角函数的定理证明在赵历年试题中出过多次。因此本次考试可能会出同一题型其他纯量的定理的证明。
3、矩阵函数的计算：题型很简单，给一个简单矩阵，求某一矩阵函数（可能涉及到Jordan标准型的应用），就看你有没有见过，见过就应该会做。典型的计算题。
4、本章可能最多只有一道10分题，甚至更少。但小心和第一章结合起来考，关于值域和核空间、基与维数的问题
第四章：矩阵分解
个人觉得，本章必有考题，至少一道。
本章要点，三角分解、旋转反射变换、QR分解和特征值分解。
1、三角分解：不做重点，但还是要看一下，说不定就碰上了！
2、初等旋转变换和初等反射变换：非常重要，很有可能有考题，尤其是初等反射变换，曾出过多次。题型如教材P219的习题中的2和3两题。
3、QR分解：比较重要，可出计算题，但仍是初等旋转变换和初等反射变换的应用。
4、特征值分解，也比较重要，仅次于2、3两项。
第五章：特征值估计
本章内容虽然多，但考点只有两个，且其中一个必考。
1、盖尔圆定理：为什么必考就不多说，几乎每年考试均有此考点。
考试类型三种：a、定理的描述 分值不高
b、定理的证明 分值10-15分
c、定理的应用 分值10分 本次考的可能性最大。最简单的考法就是给个矩阵，估计一下特征值的分布。
2、k-氏积：不知道其他老师有没有重点讲这一块，如果有，就要看一下了。重点掌握它的性质的证明。如果考应该就考某一个性质的证明。赵的历年题中几次都出过，2000年春的那套题目中也有该题。因此还要多加注意。
第六章：广义逆矩阵
本章是重点中的重点，理由：1、当知道统考以后本章各个老师都还没讲，因此可以在此多出题以统一考试。2、本章虽然只是讲广义逆矩阵，但涉及的内容多可以和其他章节联系，尤其是和第一章联系。3、多注意老师在讲本章时候的笔记，可能会补充以前没讲或讲过再重复的内容，那些可能就是考点。因此本章的复习至关重要。
由于赵还有三次课没有上完，因此我抛个砖头大家来补充：
1、 投影算子：这个和第一章的线性变换一起考过多次。
2、 Rank(AH A)=Rank(A)=rank(A AH)问题，其中AH表示矩阵A的共轭转置，教材p301引理2 。
3、 R(AH A)=R(A)的问题。
4、 广义逆的求解，计算。
三、 总结
从上面的分析看，本次考试的题型，可能会是大题套小题的形式。如果是十道大题的话，我们来统计一下：
线性子空间 证明
矩阵函数 计算
QR分解 计算
盖尔圆定理 计算
广义逆 计算
Rank(AH A)=Rank(A)=rank(A AH)问题 证明
R(AH A)=R(A)的问题 证明
线性变换 证明
矩阵范数的相容性 证明
其他 计算
哈哈，照着这个模板给他出几套题送过去，让他们抽，省得他们辛苦了！！！！