测度论核心思想

一个物体或者空间的一个区域A,其体积记作V(A),应该是一个非负的实数。首先，体积具有如下重要性质，若两个区域A,B互不相交，则V(A+B)=V(A)+V(B).这里我用A+B表示两个区域A,B的并集。这个性质称为体积的可加性。测度作为体积的推广也应该具有可加性。我们将要看到这是体积以及测度最本质的性质。其次，点、线、面的体积都等于0.所以应该允许一些子集的体积等于0.第三，3维空间自身的体积是无穷大，因而一般的测度也应该允许某些子集的测度为无穷大。

所以我们可以如下建立测度理论。给定一个大的集合，比如3维空间，或者一个微分流形等等，对这个集合的每一个子集A都指定一个数，即它的测度，也可称作体积，为方便起见，我们记之为V(A).当然这一指定方式需要满足一些条件，比如至少应该使得可加性成立，其次测度不可能是一个负数。因而集合的测度取值为0到正无穷大，即扩充的正实数集。

分析一下我们前面的讨论。注意到我们对每一个子集都指定了一个实数作为这个子集的测度。但是，这通常是做不到的，亦即，一般而言，不可能对一个集合的每一个子集都指定这样一个数并使得这一指定方式能够满足我们前面列出来的几个性质。事实上对3维空间或一般的欧几里得空间，如果我们要求单位立方体的体积等于1,那么不可能对每一个子集都赋予一个测度。因而测度只能定义在某些子集上，而不是全部的子集。这是建立测度理论总是要从集合运算开始的原因。

所以测度论的第一步就是讨论在哪些子集上赋予测度。我们从某些子集出发，通过集合运算-取并集、交集、余集-得到一些新的集合，这里的集合运算都是对有限多个集合来做的。比如对于3维空间，长方体肯定是有体积的，一些长方体的并集、交集以及余集都应该是有体积的。把所有这样得到的集合放到一起，我们很容易看出其中必定包括空集，因为集合A和A自身的余集的交集就是空集。所以我们认为空集也有体积，显然唯一合理的方式是对空集赋予体积0.

这样我们通过集合的有限并、交、补得到一些子集，并对其中的每一个赋予一个实数，即其测度并满足可加性，而且空集的测度为0.

我们继续考虑测度需要满足的性质。在数学分析中我们一般需要取极限。比如说，有无穷多个集合A1,A2,A3,...每一个都有测度，那么这些An的并集，设为A, 也应该具有测度。进而如果这些An是互不相交的，那么并集A的测度就应该是这些An的测度之和。这也是显然合理的要求。这个条件称为可列可加或可数可加。所谓可列或可数是指An的个数和自然数的个数相同。如果不对无穷作这样的限制，那么基本上就可以把所有的子集都构造出来。比如，3维空间，从长方体出发，通过集合的任意并、交、补可以得到3维空间的任意子集。这正是我们要避免的。所以我们在测度中讨论的集合运算最多允许
可数多个集合作并集、交集。

再比如说，有一系列的集合A1,A2,A3,...其中每一个都包含其后面的一个，亦即An 包含A(n+1). 假设An的测度为V(An),容易看出数列V(An)是单调减小的，这一列数有一个极限，这个极限记为a. 而集合的系列也可以作交集，因而一个合理的方式是这个交集也有测度，而且其测度就是a.

我们再来反思一下前面的过程。一开始我们只对有限多个集合进行操作。现在需要对可数无限多个进行操作。这样，我们构造可赋予测度的子集的过程就应该修正如下，从某些基本的子集出发，通过可数多个作并集、可数多个作并集、余集，如此得到的所有子集都应该是可赋予测度的。设大空间为X.
这个构造过程最终得到X的一些子集构成的集合，即W={A,B,C...},它在集合的可数并、可数交、取余集下是封闭的，在测度论中称之为一个sigma代数或sigma环，当然这并不是通常意义下的代数或环。注意到W中包含空集和大空间X自身。W中的元素称为可测集。

于是可赋予测度的对象已经构造出来了。接下来就是赋予测度。亦即对W中的每一个元素A都指定一个实数V(A)使得，
(1) V(A)的取值范围是0到正无穷大。
(2) V(A)满足可数可加性。
(3) 空集的测度为0.
这个V即称为(X,W)上的测度，(X,W,V)称为一个测度空间。一般而言我们还要求这个测度不是平凡的，亦即至少某个集合的测度不为0.因为一个显然的测度是对每一个集合A都赋予测度0.我们对这种平凡的测度没有兴趣。

注意到，我们只是描述了测度应该满足什么样的条件，还没有给出一个一般的获得测度的办法。通常
很难做到一开始就要求可数可加性。但是有限可加相对而言是比较容易验证的。所以测度论中要讨论如何从有限可加函数扩张为一个可数可加的测度。还有些技术上的事情要做，但并不困难。在此我们仅仅叙述结论：一个sigma代数上的有限可加取值非负的函数总是可以扩张成为一个可数可加的测度。换言之，扩张总是可行的。

这样我们对于测度就有了一个大致的印象，但是集合的运算还没有结束。测度为0的集合是很小的，自然而然地，0测集的任意子集仍然很小，也应该是0测集。但是，通过集合运算来扩充可测集的过程和赋予测度的过程可能不完全一致，从而使得某些0测集的子集并不包含在我们得到的sigma代数中。于是，我们需要再一次扩张sigma代数使得所有0测集的子集都被包含在一个更大的sigma代数中。从测度论的起点到现在，进行了数次集合的扩张，这是一些简单然而繁琐的技术工作，但是必不可少。有没有简单的一步到位的方法呢？现在看来没有，也看不到有任何希望可以简化这个步骤。但是容易证明我们现在得到的可测集以及其上的测度在某种意义下不能进一步扩张。

简言之，可测集以及其上的测度都可由一些简单的集合以及函数进行扩张得到的。从公理化的角度看，凡是满足上面几个性质的(X,W,V)都是测度空间，因而测度论中的所有定理都自然成立。