Rabin-Miller算法的设计与实现

一：说明：
Rabin-Miller算法是用来测试一个数是否是一个素数的，以下是它的设计与实现。

二：原理
1：费马小定理 if n is prime and (a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)
2：费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.
3：前3个Carmichael数是561,1105,1729，Carmichael数是非常少的。在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。为此又有二次探测定理,以确保该数为素数。
4：二次探测定理 如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

三：算法
根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:
0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数
1、随机取一个b，2<=b 
2、计算v=b^m mod n
3、如果v==1，通过测试，返回
4、令i=1
5、如果v=n-1，通过测试，返回
6、如果i==j，非素数，结束
7、v=v^2 mod n，i=i+1
8、循环到5

四：C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int Prime(long long num);
int Witness(int n, long long num); 

int main()
{
	int n;
	while(1)
	{
		printf("Please enter a number: ");
		scanf("%d", &n);
		if(0 == n)
			break;
		if( Prime(n) )
			printf("Yes, it is a prime number.\n");
		else
			printf("No, it isn't a prime number.\n");
	}
	return 0;
}

//我们要判断n是不是素数，首先我们必须保证n是个奇数
int Prime(long long num)
{
	int arr[3] = {19,71,97};
	int i;
	if(2 == num)
		return 1;
	if(1==num || 0==num%2)
		return 0;
	for(i=0;i<3;i++)
	{
		if( Witness(arr[i], num) )
			return 0;
	}
	return 1;
}

int Witness(int a,long long n)
{
	long long j, m, x0, x1, b, i;
	m = n-1;
	j = 0;
	while(m%2 == 0)
	{
		m /= 2;
		j++;
	}
	b = a;
	x0 = 1;
	while(m)
	{
		if(m%2)
			x0 = x0 * b % n;
		m /= 2;
		b = b * b % n;
	}
	for(i=0;i<j;i++)
	{
		x1 = x0 * x0 % n;
		if(x1==1 && x0!=1 && x0!=n-1)    
			return 1;
		x0 = x1;
	}
	if(x0 != 1)   
		return 1;
	return 0;
}