最大公约数 最小公倍数
求解最大公约数和最小公倍数。
有两大种方法：求解最大公约数有欧几里德算法和stein算法。其中欧几里德算法又分为一般的和扩展的欧几里德算法。
而求解两数的最小公倍数则利用了它们的最大公约数，有公式lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。lcm是最小公倍数的英文缩写，gcd同样。
所以求解最小公倍数的代码只在一般欧几里德算法分析中介绍下，读者可以举一反三。
一、欧几里德算法
1、一般欧几里德算法（只求最大公约数）
求最大公约数一个经典的方法就是辗转相除法了。以下将要介绍的代码也是利用其求解的。
其中，求解最大公约数用了递归和非递归两种方法，代码中有注释。
代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) //a,b最大公约数，递归
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
int GCD(int a,int b) //a,b最大公约数，非递归
{
int tem;
if(a<b)
{
tem=a;
a=b;
b=tem;
}
int rem=1;
while(rem!=0)
{
rem=a%b;
a=b;
b=rem;
}
return a;
}
int lcm(int a,int b) //最小公倍数
{
return a*b/gcd(a,b);
}
int main()
{
int a,b,lc,gc1,gc2;
cout<<"输入:";
while(cin>>a>>b)
{
gc1=gcd(a,b);
gc2=GCD(a,b);
lc=lcm(a,b);
cout<<"最大公约数:"<<gc1<<endl;
cout<<"最大公约数:"<<gc2<<endl;
cout<<"最小公倍数:"<<lc<<endl;
cout<<endl;
cout<<"输入:";
}
return 0;
}
测试结果：
再来啰嗦两句。求解最大公约数的非递归方法应该说很好理解，完全的辗转相除法。而递归方法则由于没有判断a,b的大小关系，很容易让人迷惑。
比如，输入28 1274时，会有人觉得不能求解。其实，输入28 1274和输入1274 28是基本一样的。解释如下：输入28 1274，调用gcd(28,1274)，
b=1274，b!=0，所以执行return gcd(b,a%b)也即return gcd(1274,28)。因为28%1274=28！到此，已经和直接输入1274 28一样了。
2、扩展欧几里德算法（不仅仅可求出最大公约数，还可解出方程ax+by=gcd(a,b)中的x和y）
其详细描述及证明，请参考：点击打开链接
算法代码：
int extendGcd(int a,int b,int &x,int &y) //扩展gcd，可以求出gcd(a,b)以及ax+by=gcd(a,b)中x,y的值
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
int a1=extendGcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return a1;
}
}
二、Stein算法
Stein算法与欧几里德算法的不同是：Stein算法只有整数的移位与加减法，不需要进行除法和取模运算。
算法描述：
（1）判断a或b是否为0，若a=0，则b就是最小公倍数；若b=0，则a就是最小公倍数。算法结束。
（2）设a1=a，b1=b，c1=1。
（3）判断an、bn是否为偶数
①若都是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=2*cn。
②若an是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn，c(n+1)=cn。
③若bn是偶数，则令a(n+1)=an，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=cn。
④若an、bn都是奇数，则令a(n+1)=|an-bn|，b(n+1)=min(an,bn)，c(n+1)=cn。
（4）n累加1，跳转到（3）进行下一轮计算。
算法代码如下：
方法一：
int gcd(int a,int b)
{
int min=(a>b)?b:a;
int max=(a>b)?a:b;
if(min==0)
return max;
if(max%2==0 && min%2==0)
return 2*gcd(max/2,min/2);
if(max%2==0)
return gcd(max/2,min);
if(min%2==0)
return gcd(max,min/2);
return gcd((max+min)/2,(max-min)/2); //都是奇数，貌似和算法给出的不太一样，我测试了几组数据都是对的。。。
}
方法二：
int gcd(int a,int b)
{
int min=(a>b)?b:a;
int max=(a>b)?a:b;
if(!min)
return max;
if(!max)
return min;
if(!(min&1) && !(max&1)) //都是偶数
return gcd(min>>1,max>>1)<<1;
if(!(min&1)) //小数为偶
return gcd(min>>1,max);
if(!(max&1)) //大数为偶
return gcd(min,max>>1);
//return gcd((max-min)>>1,min); //都是奇数，不知道为啥这个也行？？？
return gcd(max-min,min); //都是奇数
}