对于杨氏矩阵,是一种很强大的数据结构,它既可以用来当堆,又可以用平衡树的查询方法。
最常见的三种操作就是:插入,删除,查询。
对于插入操作:
void Insert(int x,int y,int num) { y = min(y,a[x][0]); while(y > 0 && a[x][y] > num) y--; y++; if(a[x][y] == 0) { a[x][y] = num; a[x][0]++; } else { Insert(x+1,y,a[x][y]); a[x][y] = num; } }
我们调用Insert(1,INF,tmp);每一次插入从第一行行末开始做起。
对于杨氏矩阵的删除操作,其实跟堆排序中的操作差不多,因为杨氏矩阵既可以当作堆又可以当成平衡树。
删除操作是这样的:设删除的元素是x,那么我们先用杨氏矩阵中最大的元素max代替x,那么,我们从max处开始重
新调整杨氏矩阵,每次比较右边和下边的元素值,将max与较小值交换。
题目:给n个数(n<=5000),所有数都是1到255,你需要输出最多能用多少数字构成k个不下降子序列,子序列之间
不能相交。
样例输入:
12 //表示有12个数
1 3 4 2 3 4 1 2 2 3 3 2 //描述了这个序列
样例输出:
6 //构成1个不下降子序列最多可以用到6个数112233
9 //构成2个不下降子序列最多可以用到9个数112233和234
12 //构成3个不下降子序列最多可以用到全部12个数1344,2333和1222
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; const int N = 1005; const int INF = ~0U>>1; int a[N][N]; void Insert(int x,int y,int num) { y = min(y,a[x][0]); while(y > 0 && a[x][y] > num) y--; y++; if(a[x][y] == 0) { a[x][y] = num; a[x][0]++; } else { Insert(x+1,y,a[x][y]); a[x][y] = num; } } int main() { int n,tmp; scanf("%d",&n); memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&tmp); Insert(1,INF,tmp); } int ans = 0; for(int i=1;i<=n;i++) { ans += a[i][0]; if(a[i][0] == 0) break; printf("%d\n",ans); } return 0; }
对于这个算法关于这道题目的正确性的简要证明:
其实当某一行有元素被踢到下一行的时候,在该行上的序列就可能已经不是一个可行的序列了.但我们为什么没有修改
记录这行元素个数的f[x][0] 呢.因为我们的目的是得到一个最大值.而且要被在我插入位置之后的那些数字并不是
不会被踢到下一行了而只是延后了而已.通过杨氏矩阵的堆性质,我们能够保证踢下去的永远都是当前最小的阻碍我插
进去东西的那个数.这里也巧妙地利用到了递增序列的性质。