极大极小值算法

极小极大的定义
Minimax算法 又名极小化极大算法，是一种找出失败的最大可能性中的最小值的算法（即最小化对手的最大得益）。通常以递归形式来实现。

Minimax算法常用于棋类等由两方较量的游戏和程序。该算法是一个零总和算法，即一方要在可选的选项中选择将其优势最大化的选择，另一方则选择令对手优势最小化的一个，其输赢的总和为0（有点像能量守恒，就像本身两个玩家都有1点，最后输家要将他的1点给赢家，但整体上还是总共有2点）。很多棋类游戏可以采取此算法，例如tic-tac-toe。

关于极小极大，更多的信息可参考以下文章：

Minimax(wikipedia)

Understanding The MiniMax Algorithm

Minimax Explained

最小最大原理与搜索方法

以TIC-TAC-TOE为例

tic-tac-toe就是我们小时候玩的井字棋（我这边习惯叫“井字过三关”），不熟悉的可以 参考wiki 。

一般X的玩家先下。设定X玩家的最大利益为正无穷（+∞），O玩家的最大利益为负无穷（-∞），这样我们称X玩家为MAX（因为他总是追求更大的值），成O玩家为MIN（她总是追求更小的值），各自都为争取自己的最大获益而努力。

现在，让我们站在MAX的立场来分析局势（这是必须的，应为你总不能两边倒吧，你喜欢的话也可以选择MIN）。由于MAX是先下的（习惯上X的玩家先下），于是构建出来的博弈树如下(前面两层)：

 

MAX总是会选择MIN最大获利中的最小值（对MAX最有利），同样MIN也会一样，选择对自己最有利的（即MAX有可能获得的最大值）。有点难理解，其实就是自己得不到也不给你得到这样的意思啦，抢先把对对手有利的位置抢占了。你会看出，这是不断往下深钻的，直到最底层（即叶节点）你才能网上回溯，确定那个是对你最有利的。
具体过程会像是这么一个样子的：

 

但实际情况下，完全遍历一颗博弈树是不现实的，因为层级的节点数是指数级递增的：

层数   节点数

 0       1

 1       9

 2       72

 3       504

 4       3024

 5       15120

 6       60480

 7       181440

 8       362880

完全遍历会很耗时...一般情况下需要限制深钻的层数，在达到限定的层数时就返回一个估算值（通过一个启发式的函数对当前博弈位置进行估值），这样获得的值就不是精确的了（遍历的层数越深越精确，当然和估算函数也有一定关系），但该值依然是足够帮助我们做出决策的。于是，对耗时和精确度需要做一个权衡。一般我们限定其遍历的深度为6（目前多数的象棋游戏也是这么设定的）。

于是，我们站在MAX的角度，评估函数会是这样子的：

 

static   final   int   INFINITY = 100 ;   // 表示无穷的值
static   final   int   WIN = +INFINITY ;   // MAX的最大利益为正无穷
static   final   int   LOSE = -INFINITY ;   // MAX的最小得益（即MIN的最大得益）为负无穷
static   final   int   DOUBLE_LINK = INFINITY / 2 ;   // 如果同一行、列或对角上连续有两个，赛点
static   final   int   INPROGRESS = 1 ;   // 仍可继续下（没有胜出或和局）
static   final   int   DRAW = 0 ;   // 和局
static   final   int [][] WIN_STATUS =   {
      {   0, 1, 2 },
      { 3, 4, 5 },
      { 6, 7, 8 },
      { 0, 3, 6 },
      { 1, 4, 7 },
      { 2, 5, 8 },
      { 0, 4, 8 },
      { 2, 4, 6   }
};
/**
 * 估值函数，提供一个启发式的值，决定了游戏AI的高低
 */
public   int   gameState( char []   board )   {
       int   result = INPROGRESS;
       boolean   isFull =   true ;

       // is game over?
       for   ( int   pos = 0; pos < 9; pos++) {
             char   chess = board[pos];
             if   ( empty   == chess) {
                  isFull =   false ;
                   break ;
            }
      }
       // is Max win/lose?
       for   ( int [] status : WIN_STATUS) {
             char   chess = board[status[0]];
             if   (chess ==   empty ) {
                   break ;
            }
             int   i = 1;
             for   (; i < status.length; i++) {
                   if   (board[status[i]] != chess) {
                         break ;
                  }
            }
             if   (i == status.length) {
                  result = chess ==   x   ? WIN : LOSE;
                   break ;
            }
      }
       if   (result != WIN & result != LOSE) {
             if   (isFull) {
                   // is draw
                  result = DRAW;
            }   else   {
                   // check double link
                   // finds[0]->'x', finds[1]->'o'
                   int [] finds =   new   int [2];
                   for   ( int [] status : WIN_STATUS) {
                         char   chess =   empty ;
                         boolean   hasEmpty =   false ;
                         int   count = 0;
                         for   ( int   i = 0; i < status.length; i++) {
                               if   (board[status[i]] ==   empty ) {
                                    hasEmpty =   true ;
                              }   else   {
                                     if   (chess ==   empty ) {
                                          chess = board[status[i]];
                                    }
                                     if   (board[status[i]] == chess) {
                                          count++;
                                    }
                              }
                        }
                         if   (hasEmpty && count > 1) {
                               if   (chess ==   x ) {
                                    finds[0]++;
                              }   else   {
                                    finds[1]++;
                              }
                        }
                  }
                   // check if two in one line
                   if   (finds[1] > 0) {
                        result = -DOUBLE_LINK;
                  }   else   if   (finds[0] > 0) {
                        result = DOUBLE_LINK;
                  }
            }
      }
       return   result;
}

static   final   int   INFINITY = 100 ;   // 表示无穷的值
static   final   int   WIN = +INFINITY ;   // MAX的最大利益为正无穷
static   final   int   LOSE = -INFINITY ;   // MAX的最小得益（即MIN的最大得益）为负无穷
static   final   int   DOUBLE_LINK = INFINITY / 2 ;   // 如果同一行、列或对角上连续有两个，赛点
static   final   int   INPROGRESS = 1 ;   // 仍可继续下（没有胜出或和局）
static   final   int   DRAW = 0 ;   // 和局
static   final   int [][] WIN_STATUS =   {
      {   0, 1, 2 },
      { 3, 4, 5 },
      { 6, 7, 8 },
      { 0, 3, 6 },
      { 1, 4, 7 },
      { 2, 5, 8 },
      { 0, 4, 8 },
      { 2, 4, 6   }
};
/**
 * 估值函数，提供一个启发式的值，决定了游戏AI的高低
 */
public   int   gameState( char []   board )   {
       int   result = INPROGRESS;
       boolean   isFull =   true ;
      
       // is game over?
       for   ( int   pos = 0; pos < 9; pos++) {
             char   chess = board[pos];
             if   ( empty   == chess) {
                  isFull =   false ;
                   break ;
            }
      }
       // is Max win/lose?
       for   ( int [] status : WIN_STATUS) {
             char   chess = board[status[0]];
             if   (chess ==   empty ) {
                   break ;
            }
             int   i = 1;
             for   (; i < status.length; i++) {
                   if   (board[status[i]] != chess) {
                         break ;
                  }
            }
             if   (i == status.length) {
                  result = chess ==   x   ? WIN : LOSE;
                   break ;
            }
      }
       if   (result != WIN & result != LOSE) {
             if   (isFull) {
                   // is draw
                  result = DRAW;
            }   else   {
                   // check double link
                   // finds[0]->'x', finds[1]->'o'
                   int [] finds =   new   int [2];
                   for   ( int [] status : WIN_STATUS) {
                         char   chess =   empty ;
                         boolean   hasEmpty =   false ;
                         int   count = 0;
                         for   ( int   i = 0; i < status.length; i++) {
                               if   (board[status[i]] ==   empty ) {
                                    hasEmpty =   true ;
                              }   else   {
                                     if   (chess ==   empty ) {
                                          chess = board[status[i]];
                                    }
                                     if   (board[status[i]] == chess) {
                                          count++;
                                    }
                              }
                        }
                         if   (hasEmpty && count > 1) {
                               if   (chess ==   x ) {
                                    finds[0]++;
                              }   else   {
                                    finds[1]++;
                              }
                        }
                  }
                   // check if two in one line
                   if   (finds[1] > 0) {
                        result = -DOUBLE_LINK;
                  }   else   if   (finds[0] > 0) {
                        result = DOUBLE_LINK;
                  }
            }
      }
       return   result;
} 

 

基于这些，一个限定层数的实现是这样的：

 

/**
 * 以'x'的角度来考虑的极小极大算法
 */
public   int   minimax( char [] board,   int   depth){
       int [] bestMoves =   new   int [9];
       int   index = 0;

       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                  board[pos] =   x ;

                   int   value = min(board, depth);
                   if (value>bestValue){
                        bestValue = value;
                        index = 0;
                        bestMoves[index] = pos;
                  } else
                   if (value==bestValue){
                        index++;
                        bestMoves[index] = pos;
                  }

                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       if (index>1){
            index = ( new   Random (System. currentTimeMillis ()).nextInt()>>>1)%index;
      }
       return   bestMoves[index];

}
/**
 * 对于'x'，估值越大对其越有利
 */
public   int   max( char [] board,   int   depth){

       int   evalValue =   gameState (board);

       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }

       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   x ;

                   //   maximixing
                  bestValue = Math. max (bestValue, min(board, depth-1));

                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       return   evalValue;

}
/**
 * 对于'o'，估值越小对其越有利
 */
public   int   min( char [] board,   int   depth){

       int   evalValue =   gameState (board);

       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }

       int   bestValue = + INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   o ;

                   //   minimixing
                  bestValue = Math.min(bestValue, max(board, depth-1));

                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       return   evalValue;

}

/**
 * 以'x'的角度来考虑的极小极大算法
 */
public   int   minimax( char [] board,   int   depth){
       int [] bestMoves =   new   int [9];
       int   index = 0;
      
       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                  board[pos] =   x ;
                  
                   int   value = min(board, depth);
                   if (value>bestValue){
                        bestValue = value;
                        index = 0;
                        bestMoves[index] = pos;
                  } else
                   if (value==bestValue){
                        index++;
                        bestMoves[index] = pos;
                  }
                  
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       if (index>1){
            index = ( new   Random (System. currentTimeMillis ()).nextInt()>>>1)%index;
      }
       return   bestMoves[index];
      
}
/**
 * 对于'x'，估值越大对其越有利
 */
public   int   max( char [] board,   int   depth){
      
       int   evalValue =   gameState (board);
      
       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }
      
       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   x ;
                  
                   //   maximixing
                  bestValue = Math. max (bestValue, min(board, depth-1));
                  
                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       return   evalValue;
      
}
/**
 * 对于'o'，估值越小对其越有利
 */
public   int   min( char [] board,   int   depth){
      
       int   evalValue =   gameState (board);
      
       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }
      
       int   bestValue = + INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   o ;
                  
                   //   minimixing
                  bestValue = Math.min(bestValue, max(board, depth-1));
                  
                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       return   evalValue;
      
} 

 

Alpha-beta剪枝

另外，通过结合Alpha-beta剪枝能进一步优化效率。Alpha-beta剪枝顾名思义就是裁剪掉一些不必要的分支，以减少遍历的节点数。实际上是通过传递两个参数alpha和beta到递归的极小极大函数中，alpha表示了MAX的最坏情况，beta表示了MIN的最坏情况，因此他们的初始值为负无穷和正无穷。在递归的过程中，在轮到MAX的回合，如果极小极大的值比alpha大，则更新alpha；在MIN的回合中，如果极小极大值比beta小，则更新beta。当alpha和beta相交时（即alpha>=beta），这时该节点的所有子节点对于MAX和MIN双方都不会带来好的获益，所以可以忽略掉（裁剪掉）以该节点为父节点的整棵子树。

根据这一定义，可以很轻易地在上面程序的基础上进行改进：

 

/**
 * 以'x'的角度来考虑的极小极大算法
 */
public   int   minimax( char [] board,   int   depth){
       int [] bestMoves =   new   int [9];
       int   index = 0;

       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                  board[pos] =   x ;

                   int   value = min(board, depth, - INFINITY , + INFINITY );
                   if (value>bestValue){
                        bestValue = value;
                        index = 0;
                        bestMoves[index] = pos;
                  } else
                   if (value==bestValue){
                        index++;
                        bestMoves[index] = pos;
                  }

                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       if (index>1){
            index = ( new   Random (System. currentTimeMillis ()).nextInt()>>>1)%index;
      }
       return   bestMoves[index];

}
/**
 * 对于'x'，估值越大对其越有利
 */
public   int   max( char [] board,   int   depth,   int   alpha,   int   beta){

       int   evalValue =   gameState (board);

       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (beta<=alpha){
             return   evalValue;
      }
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }

       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   x ;

                   //   maximixing
                  bestValue = Math. max (bestValue, min(board, depth-1, Math. max (bestValue, alpha), beta));

                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       return   evalValue;

}
/**
 * 对于'o'，估值越小对其越有利
 */
public   int   min( char [] board,   int   depth,   int   alpha,   int   beta){

       int   evalValue =   gameState (board);

       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (alpha>=beta){
             return   evalValue;
      }
       // try
       if (depth==0 || isGameOver || alpha>=beta){
             return   evalValue;
      }

       int   bestValue = + INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){

             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   o ;

                   //   minimixing
                  bestValue = Math.min(bestValue, max(board, depth-1, alpha, Math.min(bestValue, beta)));

                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }

      }

       return   evalValue;

}

/**
 * 以'x'的角度来考虑的极小极大算法
 */
public   int   minimax( char [] board,   int   depth){
       int [] bestMoves =   new   int [9];
       int   index = 0;
      
       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                  board[pos] =   x ;
                  
                   int   value = min(board, depth, - INFINITY , + INFINITY );
                   if (value>bestValue){
                        bestValue = value;
                        index = 0;
                        bestMoves[index] = pos;
                  } else
                   if (value==bestValue){
                        index++;
                        bestMoves[index] = pos;
                  }
                  
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       if (index>1){
            index = ( new   Random (System. currentTimeMillis ()).nextInt()>>>1)%index;
      }
       return   bestMoves[index];
      
}
/**
 * 对于'x'，估值越大对其越有利
 */
public   int   max( char [] board,   int   depth,   int   alpha,   int   beta){
      
       int   evalValue =   gameState (board);
      
       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (beta<=alpha){
             return   evalValue;
      }
       if (depth==0 || isGameOver){
             return   evalValue;
      }
      
       int   bestValue = - INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   x ;
                  
                   //   maximixing
                  bestValue = Math. max (bestValue, min(board, depth-1, Math. max (bestValue, alpha), beta));
                  
                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       return   evalValue;
      
}
/**
 * 对于'o'，估值越小对其越有利
 */
public   int   min( char [] board,   int   depth,   int   alpha,   int   beta){
      
       int   evalValue =   gameState (board);
      
       boolean   isGameOver = (evalValue== WIN   || evalValue== LOSE   || evalValue== DRAW );
       if (alpha>=beta){
             return   evalValue;
      }
       // try
       if (depth==0 || isGameOver || alpha>=beta){
             return   evalValue;
      }
      
       int   bestValue = + INFINITY ;
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
            
             if (board[pos]== empty ){
                   // try
                  board[pos] =   o ;
                  
                   //   minimixing
                  bestValue = Math.min(bestValue, max(board, depth-1, alpha, Math.min(bestValue, beta)));
                  
                   // reset
                  board[pos] =   empty ;
            }
            
      }
      
       return   evalValue;
      
} 

 

*这里对极小极大算法的实现只是其中一种可行性，实际上可能会看到很多种不同的实现方式，但道理是一样的。

使用开局库

同时，你会发现，这样做视乎还不够，特别在一开局。我们都知道，中心的位置是最好的，但是按照我们上面的算法，第一步确实随机的...这在深度受限制的情况下就更显得重要了。于是就引申出了开局库的概念，这是我在某个讲象棋AI的网上看到的，就是给初始的棋盘设定一些格局。

针对上面的例子，我们只要判断是否第一步棋，如果是则想办法让他选择中心的位置（4）。

在WIKI百科中找到一幅图也能作为TIC-TAC-TOE开局库的参考：

 

于是，估算函数会变成这样的（当然也可以在别的地方修改，只要合理）：

 

Java代码  

//开局时，每个位置的估值
static   final   int []   INITIAL_POS_VALUE   = {
      3, 2, 3,
      2, 4, 2,
      3, 2, 3
};
/**
 * 估值函数，提供一个启发式的值，决定了游戏AI的高低
 */
public   int   gameState ( char []   board ) {
       int   result =   INPROGRESS ;
       boolean   isFull =   true ;
       int   sum = 0;
       int   index = 0;
       // is game over?
       for ( int   pos=0; pos<9; pos++){
             char   chess = board[pos];
             if ( empty ==chess){
                  isFull =   false ;
            } else {
                  sum += chess;
                  index = pos;
            }
      }

       // 如果是初始状态，则使用开局库
       boolean   isInitial = (sum== x ||sum== o );
       if (isInitial){
             return   (sum== x ?1:-1)*INITIAL_POS_VALUE[index];
      }

       // is Max win/lose?
       for ( int [] status :   WIN_STATUS ){
             char   chess = board[status[0]];
             if (chess== empty ){
                   break ;
            }
             int   i = 1;
             for (; i<status.length; i++){
                   if (board[status[i]]!=chess){
                         break ;
                  }
            }
             if (i==status.length){
                  result = chess== x   ?   WIN   :   LOSE ;
                   break ;
            }
      }

       if (result!= WIN   & result!= LOSE ){

             if (isFull){
                   // is draw
                  result =   DRAW ;
            } else {
                   // check double link
                   // finds[0]->'x', finds[1]->'o'
                   int [] finds =   new   int [2];
                   for ( int [] status :   WIN_STATUS ){
                         char   chess =   empty ;
                         boolean   hasEmpty =   false ;
                         int   count = 0;
                         for ( int   i=0; i<status.length; i++){
                               if (board[status[i]]== empty ){
                                    hasEmpty =   true ;
                              } else {
                                     if (chess== empty ){
                                          chess = board[status[i]];
                                    }
                                     if (board[status[i]]==chess){
                                          count++;
                                    }
                              }
                        }
                         if (hasEmpty && count>1){
                               if (chess== x ){
                                    finds[0]++;
                              } else {
                                    finds[1]++;
                              }
                        }
                  }

                   // check if two in one line
                   if (finds[1]>0){
                        result = - DOUBLE_LINK ;
                  } else
                   if (finds[0]>0){
                        result =   DOUBLE_LINK ;
                  }

            }

      }

       return   result;

}

转载地址：http://univasity.iteye.com/blog/1170216