JOJ 2200 Fracions

其他博客里的零散的几篇。统一放在这里吧。

题目：

A fracion a/b(a < b) can be expressed in the way 1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bn. Now can you achieve it and make the sum of b1 to bn minimum?

Input and Output

For each case there are tow positive intergers a and b( 0 < a < b <= 100), output the minimum sum.

Sample Input

2 3

3 4

4 15

Sample Output

6

6

16

Hint: 2/3 = 1/3 + 1/3, 4/15 = 1/6 + 1/10

思路：

一开始想它可能有数学结论，但是没找到，于是就想直接搜索。对于给定的a和b，a*b是一个显然的解。可以使用这个解来进行搜索深度的控制。但是盲目搜索试着搜索了一下99/100，等了半天没有结果。肯定会超时。

发现因为a/b是真分数，有a/b<1，于是有a/b – 1/2 < 1/2，再进一步，a/b – 1/2 – 1/3 < 1/6，可行的分母已经从3到6了，a/b – 1/2 – 1/3 – 1/7 < 1/42，可行的分母一下子变成了42，它的下一个可行的分母的最小值是前两个相邻分母的乘积，增长得非常快。于是想可以利用这一点来进行优化。

另外一点，对于一个真分数a/b，例如3/100，那么像1/2,1/3这些值一开始就不应该被考虑，因为它们一开始就比3/100大了。也就是说，一开始的分母k不可能任意小，否则1/k比目标还大，k有个最小值，即1/k有个最大值：1/k <= ceil(a/b)=>k>=ceil(a/b)，另外，由此也可以算出来，假如当前分数为c/d，当前选择了k作为扩展的分母，那么选择k以后下一个最小的可行分母的值就是ceil( (d*k) / (c*k-d))，假设在选择k的时候已经得到的和是s，那么假如s+k+ceil((d*k)/(c*k-d))不小于当前答案，就可以剪掉这棵子树，可以多算这一步来减小递归压栈的代价。

假设当前的分数为a/b，那么搜索时最大可行的分母应该不超过b，否则得到的解不会是最优解。

有了这些优化就可以AC了，但是排名很靠后。