托勒密定理 圆的内接四边形

摘自维基百科：

在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，等号当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线取得（这时也称为欧拉定理）。狭义的托勒密定理也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。它的逆定理也是成立的：若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。

几何证明

1.设ABCD是圆内接四边形。
2.在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
3.在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
4.因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD相似于△KBC。
5.因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；
6.因此AK*BD = AB*CD，且CK*BD = BC*DA；
7.两式相加，得(AK+CK)*BD = AB*CD + BC*DA；
8.但AK+CK = AC，因此AC*BD = AB*CD + BC*DA。证毕。

逆定理的几何证明
用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设 为任意一个凸四边形。作三角形 与三角形 顺相似，则会有：

∠ABP=∠DBC（红色角）
因此，∠ABD=∠PBC
同时，根据相似三角形的性质还有：

AB/BD=BP/BC
由此可知三角形 与三角形 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明：
AB*CD=BD*AP;

AD*BC=BD*PC;
两式相加，得到：

AB*CD+AD*BC=(AP+PC)*BD>=AC*DB
等号成立当且仅当A、P、C三点共线，也就等价于∠BAC=∠BAP=∠BDC，即是等价于A、B、C、D四点共圆。因此命题得证。