快速傅氏变换之旅(一) 概念简介 3
1)
蝶形变换：普通的FFT算法称为基2的FFT算法，这种算法的核心是蝶形变换 长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2 次蝶形变换，(如上图所示)若需变换数据表示为一个复数数组c[],则每次蝶形变换有2个输入 c[i],c[i+s],两个输出:c[i],c[i+s]，s成为翅间距。 每个变换的基本算法是：
t=wr * c[i+s];
c[i+s]=c[i]-t;
c[i]=c[i]+t;
前面说过，长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2次变换，实际的程序是一个3层循环,共需要k1*k2*(k3/2)次变换(k2*k3/2=n/2)。前面的wr是w的整数次方，w=e^(- 2*PI/k3) (k3=2,4,8,16...n,PI是圆周率)，也成为旋转因子，例如n=32的变换需要log2(32)=5趟变换:
第1趟变换需要16*1次变换，翅间距是1, 若w=e^(-2*PI/2)， 则wr=w^1
第2趟变换需要8*2次变换， 翅间距是2, 若w=e^(-2*PI/4)， 则wr=w^1,w^2
第3趟变换需要4*2次变换， 翅间距是4, 若w=e^(-2*PI/8)， 则wr=w^1,w^2,w^3,w^4
第4趟变换需要2*8次变换， 翅间距是8, 若w=e^(-2*PI/16)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7,w^8
第5趟变换需要16*1次变换，翅间距是16, 若w=e^(-2*PI/32)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5...w^15,w^16
void fft(struct complex c_IO[],int m)
{
int L, B, j, k, p, q;
for(k = 0; k < SAMPLECOUNT; k++)
{
g_out[k] = c_IO[k];
}
for(L = 1.0; L <= m; L++)
{
B=(int)pow(2.0, L-1);
for(j=0;j<=B-1;j++)
{
p=j*(int)pow(2.0, m-L);
q=(int)pow(2.0, L);
for(k=j;k<=SAMPLECOUNT-1;k=k+q)
{
temp[k]=complex_add(g_out[k],complex_mult(W_n_k(SAMPLECOUNT,p) ,g_out[k+B] ) );
temp[k+B]=complex_remove(g_out[k],complex_mult(W_n_k(SAMPLECOUNT,p) ,g_out[k+B] ) );
g_out[k]=temp[k];
g_out[k+B]=temp[k+B];
}
}
}
}
//*************************************************************************
// *
// * 函数名称：
// * FFT()
// *
// * 参数:
// * complex<double> * TD- 指向时域数组的指针
// * complex<double> * FD- 指向频域数组的指针
// * r－2的幂数，即迭代次数
// *
// * 返回值:
// * 无。
// *
// * 说明:
// * 该函数用来实现快速付立叶变换。
// *
// ************************************************************************/
void FFT( complex<double> *TD, complex<double> *FD,
complex<double> *X1, complex<double> *X2,
complex<double> *Omega, int r)
{
// 付立叶变换点数
long count;
// 循环变量
int i,j,k;
// 中间变量
int bfsize,p;
// 角度
double angle;
complex<double> *X;
// 计算付立叶变换点数
count = 1 << r;
// 分配运算所需存储器
//Omega = new complex<double>[count / 2];
//X1 = new complex<double>[count];
//X2 = new complex<double>[count];
// 计算加权系数
for(i = 0; i < count / 2; i++)
{
angle = -i * 3.1415926 * 2 / count;
Omega[i] = complex<double>(cos(angle), sin(angle));
}
// 将时域点写入X1
memcpy(X1, TD, sizeof(complex<double>) * count);
// 采用蝶形算法进行快速付立叶变换
for(k = 0; k < r; k++)
{
for(j = 0; j < 1 << k; j++)
{
bfsize = 1 << (r-k);
for(i = 0; i < bfsize / 2; i++)
{
p = j * bfsize;
X2[i + p] = X1[i + p] + X1[i + p + bfsize / 2];
X2[i + p + bfsize / 2] = (X1[i + p] - X1[i + p + bfsize / 2]) * Omega[i * (1<<k)];
}
}
X = X1;
X1 = X2;
X2 = X;
}
// 重新排序
for(j = 0; j < count; j++)
{
p = 0;
for(i = 0; i < r; i++)
{
if (j&(1<<i))
{
p+=1<<(r-i-1);
}
}
FD[j]=X1[p];
}
// 释放内存
//delete Omega;
//delete X1;
//delete X2;
}
2)复数数组排序，在基2的蝶形变换中，复数数组需要重新排序，c[i] 要放置到数组c的第 reverse(c[i]) 的位置，m=reverse(n) 函数的算法是这样的:
若 n的 k位2进制的为b[], b[k-1],B[k-2],...b[2],b[1],b[0],( b[i] 等于1或者0,b[0]为最低bit). 则m=reverse(n)的2进制的为 b[0],b[1],b[2],b[3],...b[k-1] (b[k-1]为最低bit).
2.更复杂的变换算法：基2的蝶形变换算法不止一种，它可分为2类，一类为基2时分傅立叶变换，另一类为基2频分傅立叶变换。上例的变为基2时分算法，在每一趟变换中，翅间距依次变大，第一趟为2，最后一趟为n/2,数组重排在变换之前进行，基2频分算法正好相反，翅间距依次缩小，起于n/2，止于2，数组重排在蝶形变换之后进行。 在＜傅立叶变换＞一书中，提到3种基2时分变换，3种基2频分变换。上述算法称为基2时分FFT第二种算法。我在看你的这个程序的同时，还看到朱志刚写的一个FFT程序，这个程序的算法是基2时分FFT第一种算法，它比经典的算法更复杂，需要对wr数组进行逆序排列。
3.更复杂的FFT算法，除了基2 的FFT算法外，还有更加复杂的基4算法，基8算法，甚至基3,基5算法，纯粹的基4算法只能计算长度为4^k的变换，但它比基2的算法速度更高。为了提高速度，很多FFT算法使用混合基算法。如我看到的2个效率很高程序均使用了混合基算法。第一个程序是来自：http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~ooura/fft.html，它使用了基2，基4,甚至基8混合算法，共提供了6同样功能的算法。可对长度为2^k的序列做FFT，这个程序的写的很复杂，我现在尚不能完全看懂。另一个程序来自：http://hjem.get2net.dk/jjn/fft.htm。相对于前者，这个程序相对简单一点。它使用了基2，基3,基4,基5,基8,基10 混合算法，几乎可以计算任意长度的FFT。具体的，当序列长度n为2，3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37等小素数时，或者n的最大素因数小于等于37时，可计算这个序列的FFT。