Pku acm 1338 Ugly Numbers 动态规划解题报告(二十一)

本题要求写出前1500个仅能被2，3，5整除的数。

最初的想法是从1开始检验该数是否只能被2，3，5整除，方法是这样的，对于一个数，如果它能被2整除，就除以二，如果它能被3整除，就除以三，如果它能被5整除，就除以五，直到不能被2，3，5整除，看结果是不是1，如果是1就满足条件，否则不满足条件。但是第1500个数大约近10亿，显然是1s内不可以完成的。

然后仔细分析发现：满足条件的数是2^x*3^y*5^z,可以转换为这样的定义，定义一个集合，该集合中有元素1，如果x在集合中，那么2x，3x，5x也在集合中，其它数不再集合中。我们可以定义一个bool数组，初始化为false，从1开始设置为true，如果x为true，则2x，3x，5x设置为true，直到获得1500个true即可，典型的空间换时间的做法，但是这个空间也太大了！这个数组要开到近10亿才可以，显然是不可行的，内存用完了，可能都不够用。

顺着这个思路继续想下去，定义一个集合，该集合中有元素1，如果x在集合中，那么2x，3x，5x也在集合中，其它数不再集合中。按照这个思路走下去：

1

*2

*3

*5

从1*2 3 5中选一个最小的2放入到集合中，然后划掉*2,在2上加入*2

1     2

*3    *2

*5

从1*3 2*2中选一个最小的3放入到集合中，然后划掉1*3,在3上加入*2

1     2    3

*5    *2   *2

从1*5 2*2 3*2中选一个最小的4放入到集合中，然后划掉2*2,,加入2*3,在4上加入*2

1     2    3    4

*5    *3   *2   *2

从1*5 2*2 3*2 4*2中选一个最小的5放入到集合中，然后划掉1*5,加入5*2

2     3     4    5

*3    *2    *2   *2

从1*5 2*2 3*2中选一个最小的6放入到集合中，然后划掉2*3, 3*2,加入2*4 3*3 在6上加入*2

2     3     4     5     6

*4    *3    *2    *2    *2

以此类推，获得1500个数为止。

这样，我们可以这样实现：建立3个链表，待乘2的链表，待乘3的链表，待乘5的链表，将1放入3个链表中，然后判断3个链表中数据乘以各自要乘的数后哪个是最小的，比如此时1*2最小，将1放入*3的链表中，将新的数(2)加入到*2的链表中。如果最小的数是2*待乘2的链表中的数，则将该值从该链表中删除，该数加入到*3的链表中，将新得到的数加入到*2的链表中。如果最小的数是3*待乘3的链表中的数，则将该值从该链表中删除，该数加入到*5的链表中，将新得到的数加入到*2的链表中。如果最小的数是5*待乘5的链表中的数，则将该值从该链表中删除，该数不再加入到其它链表中，将新得到的数加入到*2的链表中。具体的实现可以从我的代码中获得，还有几个需要注意到细节：我的代码中用来很多if else 判断来提高效率，因为过程中出现很多值相等的情况。

链表的实现效率还是比数组的低，还有一种更简单的用数组的实现：只需要定义一个结果数组，和3个指针，分别代表待乘2的数，待乘3的数，待乘5的数，

1

*2

*3

*5

选出乘积最小的，加入到结果集中，相应指针右移

1     2

*3    *2

*5

选出乘积最小的，加入到结果集中，相应指针右移

1     2     3

*5    *2

     *3

选出乘积最小的，加入到结果集中，相应指针右移

1     2     3     4

*5    *3     *2

选出乘积最小的，加入到结果集中，相应指针右移

1      2      3     4

   *3     *2

      *5

以此类推，直到获得1500的结果集。

带有详细注释的代码可以从 http://download.csdn.net/user/china8848/ 获得。