求大数n!的位数

也是坛里面的问题：

已知正整数 n 求 n！的十进制数共有多少位。

这个 n! 怎么办？

n! 的增长率是很可怕的，比 e^n 还要快，其实就是 O(n^n)，当 n 值“较”大时，就不能忍了。这个“较”有多大呢？等后面算完了就知道了。递归算 n!，便是尾递归来说，便是栈展得开，效率也受不了，便是效率受得了，也没地儿放。所以绝对不能去算 n!

但只求位数的话，这比较好解，答案是 fix ( log10(n!) ) + 1，是吧，对数是增长级杀手……

反正我们是为了算 ln(n!)，可以从数学上找方法。

由于 ln (ab) = ln(a) + ln(b)，那么 ln(n!) 是可以展成一个 n 项加式的，但是……n 项式，每项都要求 ln，不是“很”好……

这里引出 Stirling 公式：

看样子不错，便是 n 值“很”小时，舍掉近似项的准确度也是令人满意的，至少，不会影响到 ln(n!)，这是一定的。读者可以验证，这个“很”到多小呢？这个可以在此说明，n 可以小到 1!

所以，通过 Stirling 公式，只用算两次 log10 就解决了。

O(1/n)的系数是 1/12，而且这已是一列阻尼级数的最大振幅了，所以便是当 n = 1 的时候，误差最大不过 1/12，对于计算位数，根本不受影响。

用 Matlab 就两句话：

n = 1 : 1 : 107; ans = fix((n.*log(n/exp(1)) + 0.5*log(2*n*pi)) / log(10)) + 1

就将 1 到 107 这些数的位数都算出来了，耗时瞬间。

C 语言会更快。

如果是算[1...n]的ln(n!)值的话，那么通过查表按序从ln(1)算到ln(n)求和的话，每个n只用算一次，比斯特林快，斯特林法用于算单个ln(n!)无疑是最快的。