基本问题:
平面上有n个点p1,p2, ..., pn, 要求求出一个面积最小的凸多边形,使得这个多边形包含所有平面上的点。
根据算法导论上提供的两个方法做一些介绍:
算法1:
Graham扫描法
下面直接给出一段伪代码,方便描述:
GRAHAM-SCAN(Q) { 1. 取出所有点钟y坐标最小的点作为初始点p0 2. 之后对于所有其他点,以p0为中心,点集中的所有点按关于p0的极角逆时针排序,形成p1,p2,..pn-1 3. push(p0,S) 4. push(p1,S) 5. push(P2.S) for(i: 3->m) { px = nexttoTop(S) py = Top(S) do while (如果(py->pi向量)相对于(px->py向量)是向右走的) pop(S) px = nextotTop(S) py = Top(S) push(pi, S); } return S; }
最后S栈中保存了所有凸多边形的顶点集合
下面用图示表示一下算法的过程:
1.初始化所有的p0,p1,...pn-1
2. p0,p1,p2入栈
3. 这时候栈顶元素是p2,次栈顶元素p1, 枚举p3, 那么可以看出, p2->p3的向量相对于p2->p1的向量是向右走的,所以栈中弹出p2, 压入p3
4. P4入栈,由于栈顶元素是p3,次栈顶元素是p1, 那么p3->p4向量,相对于p1->p3向量是向左走的,所以压入p4
5.由于栈顶元素是p4,次栈顶元素是p3, 那么p4->p5向量,相对于p3->p4向量是向右走的,所以弹出p4,压入p5
//xiaoxia版 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double x; double y; }POINT; POINT result[102]; //保存凸包上的点,相当于所说的栈S POINT a[102]; int n,top; double Distance(POINT p1,POINT p2) //两点间的距离 { return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)); } double Multiply(POINT p1,POINT p2,POINT p3) //叉积 { return ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x)); } int Compare(const void *p1,const void *p2) //根据p0->p1的极值和p0->p2的极值进行比较,如果极值相同则用距离长度比较 { POINT *p3,*p4; double m; p3=(POINT *)p1; p4=(POINT *)p2; m=Multiply(a[0],*p3,*p4) ; if(m<0) return 1; else if(m==0&&(Distance(a[0],*p3)<Distance(a[0],*p4))) return 1; else return -1; } //寻找凸包的过程,p0,p1,p2..的寻找过程在下面main中进行了 void Tubao() { int i; result[0].x=a[0].x; result[0].y=a[0].y; result[1].x=a[1].x; result[1].y=a[1].y; result[2].x=a[2].x; result[2].y=a[2].y; top=2; for(i=3;i<=n;i++) { while(Multiply(result[top-1],result[top],a[i])<=0 && top>2) top--; result[top+1].x=a[i].x; result[top+1].y=a[i].y; top++; } } int main() { int i,p; double px,py,len,temp; while(scanf("%d",&n)!=EOF,n) { for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y); if(n==1) { printf("0.00/n"); continue; } else if(n==2) { printf("%.2lf/n",Distance(a[0],a[1])); continue; } //这里的目的好像是找出y坐标最小的点,之后把他定义为P0 py=-1; for(i=0;i<n;i++) { if(py==-1 || a[i].y<py) { px=a[i].x; py=a[i].y; p=i; } else if(a[i].y==py && a[i].x<px) { px=a[i].x; py=a[i].y; p=i; } } //swap(a[0],a[p]) temp=a[0].x; a[0].x=a[p].x; a[p].x=temp; temp=a[0].y; a[0].y=a[p].y; a[p].y=temp; //用叉乘来实现排序的比较 qsort(&a[1],n-1,sizeof(double)*2,Compare); a[n].x=a[0].x; a[n].y=a[0].y; //调用tubao() Tubao(); len=0.0; for(i=0;i<top;i++) len=len+Distance(result[i],result[i+1]); printf("%.2lf/n",len); } return 0; }