【编程之美】24点游戏

一，概述

        二十四点是一种益智游戏，它能在游戏中锻炼人们的心算，它往往要求人们将四个数字进行加减乘除（允许使用括号）求得二十四。然后将四个数字的计算公式表示出来。

二，中缀表达式求解

         最直接的方法就是采用穷举法，游戏中可用的运算符只有四种，四个数字每个只能使用一次。

         1）不考虑括号情况

                4个数全排列：4！=24种

                需要三个运算符，且运算符可以重复：4*4*4=64

                总计：1536

         2）考虑括号（是个难点）

                自己想的加括号：四个数有五种加括号方式：  (AB)CD  、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))

                 错误点：这里添加括号的时候，需要把四个数都看成相乘。需要加两个括号来列举比较直观

                                  AB(CD)  =   (AB)(CD)

                 改正后：((AB)C)D  、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))

                         

                四个运算数五种不同加括号方式的由来。这是一个经典的Catalan数问题。

                这个经典Catalan数问题在组合数学教材上都能找到。原题目是：n 个数相乘, 不改变它们的位置, 只用括号表示不同的相乘顺序，令g(n)表示这种条件下构成不同乘积的方法数，令C(n)表示第n个Catalan数。则有g(n)=C(n-1)。前几个Catalan数为：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。

                根据Catalan数的计算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。

                Catalan数的计算公式也同时提供了构造答案的方法。对于4个数，中间有3个位置，可以在任何一个位置一分为二，被分开的两半各自的加括号方案再拼凑起来就得到一种4个数的加括号方案：

一个数时：(A)，一种

两个数：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一种

三个数：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，两种

四个数：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)

                 =(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)

                 =A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D

         共有五种。于是写代码枚举这五种加括号的方式即可。这种方法只是一种能得到正确答案的方法，扩展性和效率都极差。而且生成的表达式中也有冗余括号。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double Threshold = 1E-6;
const int CardsNumber = 4;
const int ResultValue = 24;
double number[CardsNumber];
string result[CardsNumber];

bool PointsGame(int n)
{
     if(n == 1)
     {
          // 由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值
          // 本书2.6节中讨论了如何将浮点数转化为分数的问题
          if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//结果等于24
          {
               cout << result[0] << endl;//输出表达式
               return true; 
          }
          else
          {
               return false;
          }
     }

     for(int i = 0; i < n; i++)//第一个数(计算时被两个数结果替换)
     {
          for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二个数(计算时候被最后一个数替换)
          {
               double a, b;//存放计算的数
               string expa, expb;//存放表达式中两个数

               a = number[i];
               b = number[j];
               number[j] = number[n - 1];//去除第二个数

               expa = result[i];
               expb = result[j];
               result[j] = result[n - 1];//表达式去除

               result[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')';
               number[i] = a + b;//去除第一个数
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')';
               number[i] = a - b;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')';
               number[i] = b - a;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')';
               number[i] = a * b;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               if(b != 0)
               {
                    result[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')';
                    number[i] = a / b;
                    if(PointsGame(n - 1))
                         return true;
               }
               if(a != 0)
               {
                    result[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')';
                    number[i] = b / a;
                    if(PointsGame(n - 1))
                         return true;
               }

               number[i] = a;//将本次循环的结果消除，继续测试下一对数
               number[j] = b;
               result[i] = expa;
               result[j] = expb;
          }
     }
     return false;
}

int main()
{
    int x;
    for(int i = 0; i < CardsNumber; i++)
    {
         char buffer[20];
         cout << "the " << i << "th number:";
         cin >> x;
         number[i] = x;
         itoa(x, buffer, 10);
         result[i] = buffer;
    }
    if(PointsGame(CardsNumber))
    {
         cout << "Success." << endl;
    }
    else
    {
         cout << "Fail." << endl;
    }
}

三，分支限界法求解

#include <iostream>
#include <set>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

#define N	4	// 4张牌，可变
#define RES	24	// 运算结果为24，可变
#define EPS 1e-6

struct Elem
{
	Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}
	Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}
	double res;	// 运算出的数据
	string info; // 运算的过程
	bool operator<(const Elem& e) const
	{
		return res < e.res; // 在set的红黑树插入操作中需要用到比较操作
	}
};

int A[N];	// 记录N个数据
// 用二进制数来表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3个数
set<Elem> vset[1<<N];	// 包含4个元素的集合共有16个子集0-15

set<Elem>& Fork(int m)
{
	// memo递归
	if (vset[m].size())
	{
		return vset[m];
	}
	for (int i=1; i<=m/2; i++)
		if ((i&m) == i)
		{
			set<Elem>& s1 = Fork(i);
			set<Elem>& s2 = Fork(m-i);
			set<Elem>::iterator cit1;
			set<Elem>::iterator cit2;
			// 得到两个子集合的笛卡尔积，并对结果集合的元素对进行6种运算
			for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)
				for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)
				{
					string str;
					str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";
					vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));
					str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";
					vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));
					str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;
					vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));
					str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";
					vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));
					if (abs(cit2->res)>EPS) 
					{
						str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";
						vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));
					}
					if (abs(cit1->res)>EPS)
					{
						str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";
						vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));
					}
				}
		}
	return vset[m];
}

int main()
{
	int i;
	for (i=0; i<N; i++)
		cin >> A[i];
	// 递归的结束条件
	for (i=0; i<N; i++)
	{
		char str[10];
		sprintf(str,"%d",A[i]);
		vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));
	}
	Fork((1<<N)-1);//开始1111 表示四个数 
	// 显示算出24点的运算过程
	set<Elem>::iterator it;
	for (it=vset[(1<<N)-1].begin(); 
	   it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)
		{
			if (abs(it->res-RES) < EPS)
				cout << it->info << endl;
	}
}