矩阵求逆引理(matrix inversion lemma)

关于“矩阵求逆引理”

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      若矩阵A∈C^N×N，C∈C^N×N，均为非奇异矩阵，矩阵B∈C^N×M，D∈C^M×N，则矩阵A+BCD具有逆矩阵：

(A+BCD)^-1=A^-1-A^-1B(DA^-1B+C^-1)^-1DA^-1

      我试图推导，花了好多时间，却没有什么收获。这个式子仿佛四年前见过，有点印象。推导这个不是为了别的，只是想到今后可能要用，如果手头没有相关的书籍，又不记得这个公式，就只能靠自己来算了。

      后来找到了一个比较简单的方法，虽然可能不很严密，但是如果需要使用这个引理而又不记得具体表达时，就可以用手推出来。

      首先必须记住的是可逆矩阵A+BCD的逆可以表示成A^-1+X，其中X为未知矩阵，这样一来，确定A+BCD阵的逆的问题就转化为解一个关于X的方程的问题。

∵A^-1+X=(A+BCD)^-1;

∴(A+BCD)(A^-1+X)=E(E为单位阵，eye阵);

E+AX+BCDA^-1+BCDX=E;

AX+BCDA^-1+BCDX=0(0为0矩阵);

(A+BCD)X+BCDA^-1=0;

X=-(A+BCD)^-1BCDA^-1;

X=-[B(B^-1A+CD)]^-1BCDA^-1;

X=-(B^-1A+CD)^-1CDA^-1;

X=-[C(C^-1B^-1A+D)]^-1CDA^-1;

X=-(C^-1B^-1A+D)^-1DA^-1;

X=-[(C^-1B^-1+DA^-1)A]^-1DA^-1;

X=-A^-1(C^-1B^-1+DA^-1)^-1DA^-1;

X=-A^-1[(C^-1+DA^-1B)B^-1]^-1DA^-1;

X=-A^-1B(C^-1+DA^-1B)^-1DA^-1;

      将其带入A^-1+X，就得到了引理的结果：

(A+BCD)^-1=A^-1-A^-1B(C^-1+DA^-1B)^-1DA^-1;

      总之只要记住A+BCD的逆可以表示成A^-1+X的形式，那么这个矩阵求逆引理是无论如何能够推出来的。